Calcul d'une limite

par **balteo** » 01 Juil 2010, 15:35

Bonjour,
Je souhaite calculer la limite de (2x+sin x)/(x(x-1)) quand x tends vers 0. J'ai trouvé la limite de 2x/(x(x-1)) qui est -2 mais je n'arrive pas à trouver celle de sin x/(x(x-1)). Quelqu'un peut-il me donner une piste ou un théorème qui peut m'aider svp?
Merci,
J.

par **Ericovitchi** » 01 Juil 2010, 15:43

juste dire que sin x est équivalent à x et donc que la fraction est équivalente à 3x/x(x-1) donc à 3/(x-1) et ça n'est plus indéterminé

(ou bien mettre x en facteur en haut et en bas et se servir du fait que sin x / x tends vers 1 (car vers la définition de la dérivée de sin en 0 donc cos 0) )

par **Arnaud-29-31** » 01 Juil 2010, 15:46

Bonjour,

Tu peux par exemple dire que

=

(décomposition en éléments simples), la limite saute ensuite aux yeux (pourvu que tu ais déjà rencontré la limite de

).

par **balteo** » 01 Juil 2010, 16:07

Arnaud-29-31 a écrit:Bonjour,

Tu peux par exemple dire que = (décomposition en éléments simples), la limite saute ensuite aux yeux (pourvu que tu ais déjà rencontré la limite de ).

Merci Arnaud,
Cette décomposition en éléments simple est effectivement très commode! Il y a-t-il une astuce pour repérer si la décomposition est possible? D'autre part, quel théorème/lois me donne la limite de sin x/ x??
J.

par **balteo** » 01 Juil 2010, 16:08

Ericovitchi a écrit:juste dire que sin x est équivalent à x et donc que la fraction est équivalente à 3x/x(x-1) donc à 3/(x-1) et ça n'est plus indéterminé

(ou bien mettre x en facteur en haut et en bas et se servir du fait que sin x / x tends vers 1 (car vers la définition de la dérivée de sin en 0 donc cos 0) )

Merci Ericovitchi,
Cependant pourquoi puis-je dire que sin x est équivalent à x? D'autre part, si je mets x en facteur en haut et en bas j'ai (x sin x) / (x^2(x-1)) et non sin x / x? Désolé je ne suis pas expérimenté et j'ai du mal à te comprendre...

par **Ericovitchi** » 01 Juil 2010, 17:16

Non, mets x en facteur et simplifies le (tu n'as pas mis x en facteur, tu as multiplié par x) :

Sin x / x tends vers 1 car par définition de la dérivé
lim( f(x)-f(0))/x tends vers f'(0) (avec f(x)=sin x, f'(x)=cosx et cos 0 = 1)

par **balteo** » 01 Juil 2010, 17:19

Merci beaucoup pour cet éclaircissement!

par **Arnaud-29-31** » 01 Juil 2010, 17:20

La limite de

se détermine en l'exprimant sous la forme d'une dérivée comme l'a proposé Ericovitchi ;

avec f = sin

par **balteo** » 01 Juil 2010, 17:30

Merci Arnaud.

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