Calcul de sommes (polynomes)

[nico67310]

Bonjour a tous j'aurais voulu savoir si quelqu'un peut m'aider par ce que sa fait plus d'une semaine que j'essaye de chercher mais en vain. :cry:
L'énoncé de l'exercice est:
1) determiner un polynome P, de degrès 2 verifiant pour tout x:
P(x+1)-P(x)=x
2)prouver l'égalité:1+2+....+n=P(n+1)-P(1)
en déduire que 1+2+....+n=(n(n+1))/2

Merci d'avance pour votre aide car vous etes ma derniere solution pour demain! :hum:

[rene38]

Bonjour

Tu écris
P(x)=ax²+bx+c
donc P(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c
et P(x+1) - P(x) = ................. = x = 0x²+1x+0

2) P(n+1)-P(n)=n
P(n)-P(n-1)=n-1
....
P(2)-P(1)=1
________________
On additionne tout ça ...

[nico67310]

daccord je comprend assez bien ta facon de faire pour le premier mais pour le deuxieme je ne comprend pas vraiment: les petits points m'embrouille quelque peut! quelqu'un pourrait-il m'expliquer? :triste:

[nico67310]

ou pardon en tout cas merci Rene38!!! :happy2:

[nico67310]

Merci Rene38 mais a vrai dire je ne comprend pas ce qu'il faut faire pour le 2) et finalement le prof nous deplace le devoir maison jusqu'à jeudi car il nous rajoute des questions encore plus complexe que les precedentes, un fou ce professeur! quelqu'un pourrait m'aider svp:
3)établir la formule sommatoire: 1(exposant 3)+2(exposant 3).......+n(exposant 3)=[n(n+1)(2n+1)] le tout divisé par 6

merci d'avance pour vos eclairsisement parce que là je suis vraiment perdu! :doh:

[rene38]

Es-tu d'accord avec ce que j'ai écrit dans mon précédent message (application de la question 1) ?

P(n+1)-P(n)=n
P(n)-P(n-1)=n-1
.... <-- je continue depuis n+1 jusqu'à 2 en diminuant de 1 à chaque ligne
P(3)-P(2)=2
P(2)-P(1)=1
--------------
J'additionne toutes ces égalités membre à membre :
P(n+1)-P(n)+P(n)-P(n-1)+...+P(3)-P(2)+P(2)-P(1)=n+n-1+...+2+1
Dans le 2ème membre, on a bien 1+2+...+n
Dans le 1er membre, une somme "télescopique" : tous les termes s'annulent 2 à 2 sauf le 1er et le dernier. Il reste donc :
1+2+...+n=P(n+1)-P(1)
et on n'a plus qu'à remplacer P par sa valeur trouvée au 1).

[nico67310]

a oui daccord c'est bon je pense avoir compris, en tout cas tu m'a bien avancé merci. :++: par contre sait tu ce qu'est une formule sommatoire? par ce que sa m'enpeche de faire le 3) vu que je ne comprend pas! ( je sais je suis pas top en math dsl)