Calcul de primitives
Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
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Sarra_sonia
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par Sarra_sonia » 17 Fév 2019, 08:39
Bonjour,
Je voudrais calculer la primitive de
f(x)= x^4 / (1+x)(1+x^2)
mon idée est de la décomposer comme suit
f(x)= A/(1+x)+B/(1+x^2)
mais je n'arrive pas à trouver les formes convenables de A et B ...
Merci.
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pascal16
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par pascal16 » 17 Fév 2019, 10:17
une façon de faire
tu as du degré 4 en haut, 3 en bas, on peut déjà sortir un polynôme de degré 1 de la fraction
f(x)= x^4 / (1+x)(1+x^2)
f(x)= ax+b +c /(1+x)+(dx+e)/(1+x^2)
a=1 en comparant les termes de degré le plus haut
x^4 / (1+x)(1+x^2) = x(x^3+x²+x+1) / (1+x)(1+x^2) - x(x²+x+1) / (1+x)(1+x^2)
= x - x(x²+x+1) / (1+x)(1+x^2)
= x - ( x(x²+x+1)+1-1) / (1+x)(1+x^2)
= x-1+1/ (1+x)(1+x^2)
il reste à décomposer 1/ (1+x)(1+x^2) = c /(1+x)+(dx+e)/(1+x^2)
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Pisigma
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par Pisigma » 17 Fév 2019, 10:22
Bonjour,
ensuite pour déterminer les coefficients, tout dépend de ce que tu connais comme méthode
tu pourrais, par exemple, écrire :
et procéder par identification mais il
existe d'autres méthodes
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Pisigma
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par Pisigma » 17 Fév 2019, 10:23
bonjour pascal16
sorry, je n'avais pas vu ta réponse
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Pisigma
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par Pisigma » 17 Fév 2019, 10:29
Pisigma a écrit:Bonjour,
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pascal16
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par pascal16 » 17 Fév 2019, 10:42
NB :
si on a une forme P/Q, avec °P > °Q, il n'y a pas de dérivée classique qui a cette forme.
mais P/Q, avec °P ≤ °Q, on a du ln, de l’arc-tangente ...
d'où la transformation proposée obligatoire (sauf question préliminaire qui remplace cette recherche
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Sarra_sonia
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par Sarra_sonia » 17 Fév 2019, 12:24
merci beaucoup pour vos réponses, si vous me permettez, je voudrais savoir comment on sait que la décomposition de 1/(1+x)(1+x^2) est de la forme (Ax+b)/(1+x^2)+C/(1+x) et non
C/(1+x^2)+(Ax+b)/(1+x) par exemple!
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Pisigma
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par Pisigma » 17 Fév 2019, 19:18
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mathelot
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par mathelot » 17 Fév 2019, 19:46
on a par exemple dans C:
comme le résultat est réel et la décomposition unique, en conjuguant, on a:
A réel,
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