Calcul Matriciel

[Lucasc68]

Bonjour, je suis militaire et j'aimerai passer le concours des officiers, ce qui inclut une épreuve de math niveau Terminale ES pour la filière que j'ai choisi. Apprenant en autodidacte j'ai parfois du mal avec certains sujet tel les calculs matriciels.

Mon problème, je dois trouver a,b et c tel que :

J'ai appris lors de mes cours que pour assigner un réel à des inconnues il suffit d'utiliser l'équation suivante :


Sauf que lorsque j'essaye d'inverser la matrice correspondante, ma calculatrice m'indique "MAT SINGUL" ! J'imagine donc que la matrice en question n'est pas inversible !

Dans le fait que AB peut être différent de BA en calcul matriciel je ne sais pas si je peux faire changer les matrices d'un côté à l'autre de l'équation !

Merci à ceux qui m'ont lu et qui me répondront !

[Lostounet]

Bonjour,

Effectivement la matrice A n'est pas inversible. Cela signifie que l'objet A^(-1) n'existe pas;
Attention au fait que dans AX=B, B n'est pas une matrice mais un vecteur (tout comme X)... Donc écrire AX a un sens mais écrire XA n'en a pas (c'est différent du fait que le produit matriciel ne commute pas, où si tu avais une matrice C de taille 3x3 le produit AC serait différent de CA (mais les deux produits existent bien)).

Ce que nous dit la méthode c'est qu'on n'a aucune chance de trouves une valeur unique a et b et c pour avoir cette égalité.
Il se peut a priori que nous n'ayons aucune solution (a;b;c) ou une infinité de (a;b;c) qui conviennent.

Revenons au problème initial: si on se défait des matrices et qu'on écrit le problème autrement, cela revient à chercher a, b et c de sorte à avoir:

4a-2b+c=7
a+2b+3c=7
2a-6b-5c=-7

Donc:
4a-2b=7-c
a+2b=7-3c
2a-6b=-7+5c

En ajoutant membre à membre les deux premières équations:

5a =14-4c
Donc a=(14-4c)/5

Essaye maintenant d'exprimer b en fonction de c.
Pour chaque c que tu choisis tu auras une valeur différente pour a et b.
On peut donc choisir une de ces solutions possibles.

[pascal16]

la matrice n'est pas inversible.
En ES, on ne s'interroge pas sur les cas spéciaux, seulement la cas général qui a une solution unique.

ici on est dans un cas où il n'y a pas de solution unique, mais un ensemble de solution (cf post précédent)

c'est comme résoudre :
Alice a deux ans de plus que Paul
Paul a deux ans de moins qu'Alice
On a beau avoir deux équations à deux inconnues, on pas de solution unique.

[Lostounet]

la matrice n'est pas inversible.
En ES, on ne s'interroge pas sur les cas spéciaux, seulement la cas général qui a une solution unique.

Euh ... Moi si on me pose la question de trouver a b et c en ES je me verrais mal répondre "je ne m'interroge pas sur ce cas spécial".
La question demande de trouver un triplet qui fonctionne..

[Lucasc68]

Merci beaucoup pour vos réponses ! Je me replonge dans les calculs avec le debut de solution de Lostounet!

[pascal16]

Si la personne a fait une série ES, c'est normal que le cas "MAT SINGUL" = " Matrice Singulière" ne soit pas un cas qui ait été traité.

du BO de série ES :
"Le niveau d’approfondissement des notions est guidé par les besoins rencontrés dans la résolution des problèmes traités. Les thèmes abordés ne doivent pas faire l’objet d’un développement théorique. "

[Lostounet]

Si la personne a fait une série ES, c'est normal que le cas "MAT SINGUL" = " Matrice Singulière" ne soit pas un cas qui ait été traité.

du BO de série ES :
"Le niveau d’approfondissement des notions est guidé par les besoins rencontrés dans la résolution des problèmes traités. Les thèmes abordés ne doivent pas faire l’objet d’un développement théorique. "

Les programmes officiels en maths c'est de la merde :p

[Lucasc68]

Désolé de vous déranger à nouveau, suite à mes calculs a correspond donc au reel (-14-4c)/5 ; b au reel (21-11c)/10. ; je n'arrive cependant pas à dégager un réel pour c ! Je crois que je me suis embourbé dans un problème qui à l'air simple pourtant !

[Lostounet]

Désolé de vous déranger à nouveau, suite à mes calculs a correspond donc au reel (-14-4c)/5 ; b au reel (21-11c)/10. ; je n'arrive cependant pas à dégager un réel pour c ! Je crois que je me suis embourbé dans un problème qui à l'air simple pourtant !

C'est très bien!
Justement c'est ici la subtilité...

Si tu remplaces dans la troisième équation a et b en fonction de c et que tu trouves 0=0 c'est que le système d'équations admet une infinité de solutions.

Tu ne pourras pas trouver 'c' vu que c peut prendre n'importe quelle valeur dans ce cas.

Par exemple si c=0 que valent a et b?
Et si c=1?

Ce type de systèmes est un peu à la frontière du programme de ES donc c'est normal que ce soit un peu plus dur que d'habitude...

[Lucasc68]

Si c=0 alors a = 14/5 et b = 21/10
Si c=1 alors a = 2 et b =1

C'est hyper frustrant n'empêche de pas lui assigné un réel constant !

Donc si je veux répondre correctement à l'énoncé je dis que a = (14-4c)/5 ; b = (21-11c)/10 et c = ensemble des reels c'est ça? Ou je peux explicitement dire c = infinité de solutions ?

[Sa Majesté]

Juste pour compléter, une autre façon de voir que la matrice

n'est pas inversible, c'est que la 1ère ligne est une combinaison linéaire des 2 autres, en l'occurrence :
1ère ligne = 2x2ème ligne + 3ème ligne

[Lostounet]

Si c=0 alors a = 14/5 et b = 21/10
Si c=1 alors a = 2 et b =1

C'est hyper frustrant n'empêche de pas lui assigné un réel constant !

Donc si je veux répondre correctement à l'énoncé je dis que a = (14-4c)/5 ; b = (21-11c)/10 et c = ensemble des reels c'est ça? Ou je peux explicitement dire c = infinité de solutions ?

Si c avait une seule valeur possible tout comme a et b on aurait A inversible et on n'aurait pas à se fatiguer!
Le seul X qui conviendrait serait X= A^(-1)B.

Oui, on peut dire que l'ensemble des vecteurs X=(a;b;c) qui conviennent sont de la forme: (14-4c)/5 ;(21-11c)/10 ; c) où c est un réel quelconque.
Il n'y en a pas un seul mais une infinité qui conviennent.

Donc si on se tient aux programmes, cette réponse est recevable au niveau ES sans besoin d'aller plus loin dans l'analyse.

[Lucasc68]

Merci SaMajesté pour la petite astuce ! Merci Lostounet, j'ai bien tout compris maintenant ! C'est juste que dans mon esprit ,c, devait avoir un réel un point c'est tout ! Mais ça ne marche pas comme ça et je l'ai bien vu !