Calcul d'intégrale
Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
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Anonyme
par Anonyme » 07 Mai 2005, 18:33
Voila je suis bloqué a une question de cet exercice sur le calcul d'intégrale.
Le but de cet exercice est de montrer que Lim Sn = 2 /Pi
(n--> +inf)
où Sn= (1/n)[f(0)+f(1/n)+f(2/n).....+f(n-1/n)] e n est naturel strictement supérieur a 2 et f(x)=sin(Pix)
pour la question a) il demandait de prouver que 1+ei Pi/n +ei 2Pi/n + ... +ei (n-1)Pi/n= 2/(1-eiPi/n)
On remarque directement que c'est une suite Géométrique de raison eiPi/n et on prouve facilement l'égalité
Mais moi je bloque a la question suivante lorsqu'il demande d'en déduire que
sin(Pi/n)+sin(2Pi/n)......+sin((n-1)Pi/n)= (cosPi/(2n))/(sinPi/(2n))
puis finalement de prouver que Lim Sn = 2 /Pi
(n--> +inf)
Aidez moi SVP
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flagos
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par flagos » 11 Mai 2005, 14:15
Salut,
Tu auras bien remarque que la somme des sinus est la partie imaginaire de la somme des exp complexes (ss ca il est pas trop tard...) Donc la partie imaginaire de 2/(1-exp(i Pi/n) c'est cos (pi/n)/sin(Pi/2n)... en tout cas c'est ce qu'il s'agit de montrer ! Voici une méthode classique dite de l'angle milieu:
2/(1-exp(i pi/n)) = 2/[exp (i pi/2n)*(exp(-i pi/2n)-exp(i pi /2n))]
(Euler) = i/[exp(i pi/2n) * sin(pi/2n))
= exp(pi/2 - pi/2n)/sin(pi/2n)
on peut maintenant calculer la partie imaginaire de 2/(1-exp(i pi/n)):
Im = sin(pi/2 -pi/2n)/sin(pi/2n) "car sin(pi/2n) est un reel !"
= cos (pi/2n)/sin(Pi/2n)
C'est un calcul long mais neanmoins classique je te conseille de le refaire pr bien le maitriser. Ensuite la limite de la suite Sn = cos (pi/n)/sin(pi/n)...
Tu vois que (pi/n) tend vers 0. Etudions la limite en 0 de la fonction de cos(x)/sin(x)
On sait que lim sin(x)/x =1.
cos(x)/sin(x)=x*cos(x)/(x*sin(x))
d'ou a la limite: = lim(x->0) cos(x)/x
Ainsi lim Sn=lim cos(pi/2n)/(pi/2n)*n=pi/2
:cool:
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Anonyme
par Anonyme » 18 Mai 2005, 22:40
Ouais, tout à fait.
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Anonyme
par Anonyme » 18 Mai 2005, 22:41
Sans aucun doute, CQFD
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Anonyme
par Anonyme » 18 Mai 2005, 22:42
1 + 1 = 3
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Anonyme
par Anonyme » 18 Mai 2005, 22:46
C'est une perte de temps les maths, il faut faire plutôt ... heu, rien en fait, mieux vaut ne rien faire :)
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