Calcul intégral

[lola45]

Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour cet exercice qui me pose problème :

On considère la fonction f définie sur R par f(x)=ln(x + racine(x^2+9)) et C sa représentation graphique relative à un repère orthonormal (0; i; j)

1. Déterminer les images de 0 et de 4 par f, puis l'antécédent de 0 par f.

2. a. Calculer la limite de f en +infini.

b. Montrer que pour tout x réel : racine(x^2+9)+x = 9 / (racine(x^2+9)-x)
et en déduire la limite de f en -infini.

3. Montrer que pour tout réel f '(x)=1 / racine(x^2+9) et en déduire le tableau de variations de la fonction f.

4. On considère la fonction g définie pour tout x réel par g(x)= 1/2 e^x - 9/2 e^-x et C ' sa représentation graphique dans le même repère (0; i; j).

a. Démontrer que pour tout x réel (g rond f)(x) = x.
On admettra de même que (f rond g)(x) = x

b. En déduire que le point M (x ; y) appartient à C si et seulement si M ' (y ; x) appartient à C ' .

c. Démontrer que la fonction g est négative sur [0; ln 3]

5. Soit D1 et D2 les domaines définis par :

D1 = M (x ; y) avec 0< ou = à x < ou = à ln3 et g(x) < ou = à y < ou = à 0

D2 = M (x ; y) avec -4 < ou = à x < ou = à 0 et 0 < ou = à y < ou = à f(x)

Vérifier que les domaines D1 et D2 ont la même aire ; calculer cette valeur commune en unités d'aire.

Voilà, j'espère que quelqu'un pourra m'aider...merci d'avance !

[fonfon]

Salut, tu as déja fait quelque chose?

[lola45]

Oui, je bloque à partir de la question 4...

[fonfon]

Re,

4. On considère la fonction g définie pour tout x réel par g(x)= 1/2 e^x - 9/2 e^-x et C ' sa représentation graphique dans le même repère (0; i; j).

a. Démontrer que pour tout x réel (g rond f)(x) = x.
On admettra de même que (f rond g)(x) = x

b. En déduire que le point M (x ; y) appartient à C si et seulement si M ' (y ; x) appartient à C ' .

c. Démontrer que la fonction g est négative sur [0; ln 3]

1) (gof)(x)=g(f(x))=1/2e^f(x)-9/2e^-f(x)=(racine(x²+9)+x)/2-9/(2racine(x²+9)+x)

quand tu reduit au même denominateur et que tu reduis tu trouves bien que (gof)(x)=x

2) on sait que (gof)(x)=x et on admet que (fog)(x)=x donc on a que (gof)(x)=(fog)(x) donc on en deduit que M(x,y) appartient à C ssi M'(y,x) appartient à C'

3) on calcule g'(x)=(e^x+9e^-x)/2>0 donc g est croissante sur R donc en particulier sur [0,ln3] de plus g(0)=-4 et g(ln3)=0 donc g est negative sur [0,ln3]

la 5) tu n'y arrives pas non plus?

[lola45]

merci beaucoup !!
non je bloque aussi pour la 5 c'est celle qui me pose le plus de problème...

[fonfon]

Re,
tu exprimes D1 et D2

D1 = M (x ; y) avec 0< ou = à x < ou = à ln3 et g(x) < ou = à y < ou = à 0

integrale de 0 à ln3 de -g(x)dx

D2 = M (x ; y) avec -4 < ou = à x < ou = à 0 et 0 < ou = à y < ou = à f(x)

integrale de -4 à 0 de f(x) dx

tu calcules ces 2 integrales et tu remarque que c'est le même resultat

pour verifier que l'aire D1=D2 tu peux utiliser le quadrillage de ta feuille

A+

[lola45]

Merci beaucoup pour ton aide je pense avoir à peu près saisi !!