Calcul de grandeurs dans exercice géométrie

[matheuse38]

Bonjour à tous,
Voici l'exercice sur lequel je buche depuis un moment et que je n'arrive toujours pas à résoudre!

Le triangle ABC est équilatéral et les droites (D), (D') et (D'')
sont des droites parallèles passant respectivement par les sommets C, A et B. On note a la distance de (D) à (D') et b celle de (D) à (D''); on se propose de calculer, en fonction de a et b, l'aire du triangle ABC.
1) Le cercle circonscrit à ABC recoupe la droite (D) en un point P.
Montrer que AP = 2a/sqrt(3) et que BP = 2b/sqrt(3).
2) En déduire que : AB^2 = 4 (a^2 + b^2 + ab)/3.
3) Calculer l'aire du triangle ABC en fonction de a et b.

J'ai codé ma figure en faisant apparaitre les cotés égaux, les angles égaux, etc.
Je pensais aussi utiliser le produit scalaire mais je ne sais pas dans quel repère orthonormé me placer.

Merci d'avance à ceux qui pourront m'apporter un peu d'aide.

[Sa Majesté]

Salut
Je suppose que tu as fait un dessin
L'angle APC est un angle inscrit ; il vaut donc la moitié de l'angle OAC donc tu connais sa valeur
Si j'appelle P' le projeté orthogonal de P sur (D') tu connais la valeur de l'angle P'PC dons tu connais l'angle APP'
Ensuite c'est de la trigo sachant que PP'=a

Le 2) c'est du Al-Kashi mais je trouve plutôt 4 (a² + b² - ab)/3
En fait c'est bon il faut trouver 4 (a² + b² + ab)/3

[matheuse38]

L'angle au centre associé à APC n'est-il pas plutôt AOC?
Mais j'ai trouvé comment calculer la mesure de l'angle APC: comme ABC et APC sont 2 angles inscrits qui interceptent le meme arc AC, ils ont même mesure, à savoir Pi/3.

[matheuse38]

J'ai répondu aux 2 premières questions grâce à vous et je vous en remercie!
Par contre, j'ai encore du mal pour l'aire du triangle ABC... Puis-je avoir une piste de calcul SVP?

[matheuse38]

Fausse alerte! J'ai AB² dont je déduis la longueur AB, puis comme ABC est equilateral, je calcule une hauteur et j'applique la formule générale de l'aire d'un triangle!