Calcul de l'erreur

[dycina]

Bonjour,

J'ai une question sur le calcul de l'erreur sur la distance entre deux points situés dans un espace 3D. Admettons que j'ai un point A dont j'ai les coordonnées (xA, yA, zA), dont la position est donnée avec une précision pA. De la même manière, j'ai un point B qui lui a les coordonnées (xB, yB, zB) pour une précision pB. Lors du calcul de la distance entre A et B, comment est calculée l'incertitude sur la mesure de ladite distance ?

Si quelqu'un pouvait m'expliquer, cela m'aiderait énormément. Merci d'avance à ceux qui auront la patience de m'aiguiller.

[lyceen95]

Tu peux faire une première approche.
J'ai un point A(0,0,0) et un point B(100,100,100)
On sait calculer la distance entre A et B . Fais le calcul.
Mais j'ai une erreur possible, de 1 sur chacune des mesures.
Donc, on peut chercher les 2 cas les plus extrèmes.
1. Le cas qui va donner une distance la plus petite, c'est si A est en fait (1,1,1) et B(99,99,99).
Calcule la distance AB dans ce cas.
2. Et l'autre cas extrême, c'est celui qui va donner la distance la plus grande. C'est A(-1,-1,-1) et B(101,101,101)
Calcule la distance AB dans ce cas.

Du coup, une erreur de 1cm sur les nombres Xa Xb ... donne une erreur de ??? sur la distance AB.
Ici, j'ai pris des valeurs particulières, pour faciliter les choses.
Ensuite, il faut généraliser. C'est un peu plus compliqué.

[Black Jack]

Bonjour,

(xA, yA, zA), dont la position est donnée avec une précision pA.
Il faut évidemment définir la signification de "précision pA"

On pourrait par exemple avoir la coordonnée d'abscisse : avec p1A un valeur fixe.
La valeur minimale de l'abscisse est xA - p1A et la valeur maximale de l'abscisse est xA + p1A

On pourrait aussi avoir , c'est à dire que l'erreur n'est pas équilibrée autour de xA, ici la valeur minimale de l'abscisse est xA - p1A et la valeur maximale de l'abscisse est xA + p2A (avec p1A et p2B des valeurs positives qui peuvent être différentes)

On pourrait aussi avoir avec 0 <= p1A < 1, donc la valeur de l'abscisse connue avec une erreur "en pourcentage", par exemple si p1A = 0,1, l'abscisse minimale serait 0,9.xA et l'abscisse maximale serait 1,1.xA

On pourrait aussi avoir une abscisse connue avec une erreur "en pourcentage" mais non équilibrée sur la valeur xA, donc par exemple avec l'abscisse minimale = (1-p1A).xA et l'abscisse maximale = (1 + p2A).xA avec p1A et p2A différents mais compris dans [0 ; 1[

Et on pourrait aussi avoir une erreur avec une partie fixe et une partie proportionnelle équilibrée ou non autour de xA, par exemple la valeur minimum de l'abscisse valant xA(1-p1A)-p2A (avec p1A dans [0 ; 1[ et p2A une valeur fixe positive) et la valeur maximum de l'abscisse valant xA(1+p3A)+p4A (avec p3A dans [0 ; 1[ et p4A une valeur fixe positive)

Ces exemples ne sont pas exhaustifs.

Même si cela paraît couper les cheveux en quatre, ce n'est pas le cas.
Enormément de mesures sont "entachées" d'une partie d'erreur fixe et d'une partie d'erreur proportionnelle.

Le problème peut être facilité si on commence par calculer numériquement les valeurs des erreurs "vers le bas" et "vers le haut", mais si on tente dans un cas réel (le plus souvent avec 2 types d'erreurs (constante + proportionnelle et pire encore si elles ne sont pas équilibrée dans "les 2 sens" de faire les calculs de manière littérale, alors bon courage.

Maintenant, si c'est pour un exercice "d'école" au niveau secondaire, il y a toutes les chances que les erreurs aient été considérées dans le plus simple des cas ci-dessus (le 1er) et alors le calcul littéral n'est pas très compliqué.

[mathelot]

bonsoir,
soit la fonction distance:



l'erreur est majorée par


où est l'incertitude sur la variable x (resp y,z)

[Black Jack]

Juste pour info,

Et que vaut Delta x si par exemple on a xA max = xA + a + 0,05 xA et xA min = xA - b - 0,018 xA (avec a et b des valeurs numériques positives) ? (Delta x = a + b + 0,068.|xA| ou quoi d'autre ?)

C'est pourtant, le type de mesures classiques qu'on réalise en pratique même si on ne s'en rend pas compte, l'instrument de mesure a souvent une erreur de "pied" et une erreur proportionnelle (et pas obligatoirement la même partout (voir plus loin)), il y a encore l'erreur due à la lecture sur l'instrument de mesure ...

Un exemple simple, sans "erreur de pied", j'ai 2 lattes graduées, je fais coïncider leur 0 (donc j'annule l'erreur de pied) et je compare leurs graduations 30 cm ... et elles sont décalées (à l'oeil d'environ 1 mm).
Mais, en comparant les graduations à 15 cm ... je ne vois pas d'écart entre les graduations des 2 lattes (si écart, il y a, il est trop petit pour que mes yeux le détecte)...
Cela ne signifie pas évidemment que les 2 règles sont identiques en graduations sur les 15 premiers cm.

Si j'utilise ces lattes graduées pour mesurer la longueur d'un crayon, en plus des "précisions" (ou imprécision des lattes), j'introduis une erreur de pied, car même en positionnant au mieux le "0" des lattes au niveau d'un bout du crayon ... ce n'est quand même pas sans erreur (même si petite).

Tout ceci sans compter que je ne connais la "précision" d'aucune des lattes par rapport à l'étalon de longueur.

Je n'attend pas une réponse qui me précise ce que vaut le Delta x dans cet exemple simpliste, c'était juste pour noter que derrière les formules mathématiques, il y a les réalités des mesures.