Calcul des sommes (polynome) 1°s

[vahine]

:briques: bonjour je n'arrive pas a terminer un exo de math merci de bien vouloir m'aidé

1)la somme 1+2+3+.....+n
a)déterminer un polynome P de degré 2 vérifiant: pour tout x, P(x+1)-P(x)=x
b) prouver l'égalité 1+2+3....+n=P(n+1)-P(1). EN déduire que 1+2+3+.....+n=n(n+1)/2

voici ce que j'ai trouvée
P(x+1)-P(x)=a(x+1)^2+b(x+1)+c-(ax^2+bx+c)=2ax+a+b=x
par identification
2a=1; a+b=0 d'ou a=1/2 ;b=-1/2 et c=0
donc P=1/2x^2-1/2x=x
voila mon polynome du 2nd degré

mais pour la question b) je n'arrive pas :help: :cry: pouvait vous m'expliquée??

de tout coeur merci d'avance!!

[vahine]

:cry: :triste: personne peut m'aidé??....s'il vous plait!!

[rene38]

Bonjour

D'accord avec ton résultat :
est bien UN polynôme du second degré vérifiant quel que soit le réel .
Il en existe cependant une infinité d'autres ; en effet, rien ne permet d'affirmer "c=0" et donc "c" peut prendre n'importe quelle valeur réelle.
Le plus simple est évidemment de choisir c=0.

b) Effectue les calculs suivants :
...................................P(2)-P(1)= ...
............................P(3)-P(2)= ...
.....................P(4)-P(3)= ...
......................................
P(n+1)-P(n)= ...
_________________________________
[P(n+1)-P(n)]+...+[P(4)-P(3)]+[P(3)-P(2)]+[P(2)-P(1)]=...
et tu réduis dans le premier membre

[vahine]

merci de m'aidé


mais ....je comprends pas sa me donne alors n+P(4)+ou je remplace par les valeurs que je trouve??

[rene38]

P(4)-P(3)= ...
...................................... <- à compléter de P(5)-P(4) à P(n)-P(n-1)
P(n+1)-P(n)= ...

[vahine]

P(n) il s'annule avec n'importe quel chiffre??

[rene38]

...................................P(2)-P(1)= 1
............................P(3)-P(2)= 2
.....................P(4)-P(3)= 3
......................................
..........P(n)-P(n-1)= n-1
P(n+1)-P(n)= n
_________________________________
[P(n+1)-P(n)]+[P(n)-P(n-1)]+...+[P(4)-P(3)]+[P(3)-P(2)]+[P(2)-P(1)]=1+2+3+...n-1+n

P(n+1)-P(1)=1+2+3+...n-1+n

Il reste à remplacer P(n+1)-P(1) par sa valeur en fonction de n.

[vahine]

c'est à dire 1?

P(1+1)-1=1

[rene38]

Il reste à remplacer P(n+1)-P(1) ...

pas P(1+1)-1

[vahine]

ok j'ai réussie merci!!!