Calcul de dérivée

[Badmonster]

Bonjour !

Comment puis je calculer la dérivée de

f(x) = x. RACINE CARREE DE ( x(2-x) )

Je sais bien que je dois faire un changement de variable, mais je n'arrive pas à calculer la dérivée.
Merci

[Sylviel]

non pas de changement de variable pour calculer une dérivée...
tu as
f(x)=x*V(2x-x²)=h(x)*g(x)
avec
h(x)=...
g(x)=...
h'(x)=...
g'(x)=... (dérivée d'une fonction composée type uov)
f'(x)=...+...

[Rebelle_]

Re =)

Quand tu rédiges une démonstration de dérivabilité par composition fais très attention aux intervalles.
En particulier, si f = g o v soit f(x) = g(v(x)) il faut que g soit dérivable dans l'intervalle image de la fonction v pour calculer f'(x).

Comprends-tu ?

[Badmonster]

Non, je suis perdue dans toutes ces lettres :triste:
Il faut bien que je change la variable, pour calculer la dérivée de la racine carrée

[Rebelle_]

Non, je vois ce que tu veux dire mais ce n'est pas un changement de variable. Il faut que tu utilises la dérivée d'une fonction composée. C'est dans le cours de Terminale S :)

Tu écris f comme la composée de deux fonctions comme l'a écrit Sylviel et tu appliques ensuite la méthode du cours.
Tu essayes pour voir ?

[Badmonster]

Oui je l'ai fait, je trouve ( je vais écrir à moitié en français, j'ai du mal avec le code ).

Soit u'(x) = (Racine carrée de x(2-x) )
= (x+2) / 2* racine carrée de (x(2-x))
En utilisant l'expression conjuguée e peux simplifier et j'arrive à une expression
= - 2 * racine carrée de x(x-2) / 4x

et quand je calcule f'(x) j'obtiens racine carrée de ( x(2-x) ) + x (-2 racine carrée de x(x-2))

[Rebelle_]

Hum non ce n'est pas bon :/

Je te donne la méthode.
Dans ton exercice, tu peux exprimer f comme un produit de deux onctions. Par exemple, on a f = u*v. Dans ce cas, la fonction v s'exprime comme une composée de deux fonctions.
Il faut que tu utilises la formule de la dérivée d'un produit de deux fonctions. Quand tu l'appliqueras tu devras calculer la dérivée de v, et de fait te servir de ce que j'expliquais plus haut avec l'histoire des intervalles.

C'est assez long à rédiger et il faut être très très rigoureux dans les notations et le raisonnement :)

[Badmonster]

Oui je comprend.
f'(x) = u'v + uv'
Or dans ce cas v' s'obtient avec la formule (racine carrée de x)' = x' / 2 racine de x

[Olympus]

Salut !

Il faut effectivement faire attention au domaine de définition de ta fonction, ainsi qu'à l'intervalle sur lequel elle est dérivable ( elle n'est pas dérivable en 2 et en 0 ) .



Pour le premier terme, c'est facile . Pour la deuxième, il te suffit de remarquer que, comme déjà dit, peut se réécrire comme où et .

Tu utiliseras donc le résultat de ton cours qui dit que si est dérivable sur un intervalle , et que est dérivable sur , alors est dérivable sur et .

[Rebelle_]

Badmonster : attention, dans la formule que tu donnes x est une fonction ! On dit plutôt [V(u)]' = u'/2V(u).
Il faudrait aussi peut-être prouver cette formule non ? Et surtout ne pas oublier de parler des divers intervalles sus-cités :)

[Badmonster]

Oui oui, je prend bien en compte les intervalles, là c'était juste pour voir. et effectivement, je n'aurais pas du choisir x comme lettre pour la formule de la dérivée de la racine carrée.

Sinon ça y'est, après moults essais, j'arrive à trouver une dérivée dont le signe correspond aux variations de la courbe.

Merci beaucoup !

[Rebelle_]

Peut-on savoir quelle dérivée tu trouves ? ^^'
Car le fait qu'elle corresponde vaguement ne siginifie pas qu'elle soit juste :P