Calcul algébrique relativement complexe

[Nooby]

Bonjour,

Je tente de résoudre une équation et pour cela j'ai recours à la résolution d'un polynome du second degré égal à 0 : . Après avoir calculé le déterminant qui est supérieur à 12+8sqrt{2} donc supérieur à 0, une solution double s'offre à moi. Voici l'une d'entre elle :

X =

P.S: Le V dans dans la deuxième racine carrée correspond également à une racine carrée que je n'ai pas pu matérialisée correctement avec les balises TEX : 8V2
J'aurais aimé avoir la méthode pour simplifier cette expression car je ne vois pas comment calculer la racine carrée d'une racine carrée.

Merci

[Ben314]

Bonjour.
Une première remarque : tu peut parfaitement laisser le résultat sous cette forme (a moins qu'on te demande explicitement de le simplifier)
Ensuite, il est utile de savoir que, la plupart du temps, ce genre de racine de racine ne se simplifie pas.
Pour ton cas particulier, tu pourrait quand même factoriser 4 qui est un carré parfait : .
Arrivé à ce point, si tu veut voir si "ca se simplifie", tu écrit que tu voudrait que avec a et b "pas trop compliqués" car les solutions du type et ne constituent pas vraiment des simplifications !!!!!
Tu considère donc que tu aimerais trouver s'il y a des solutions avec a et b des entiers (ou des quotients).
En élevant au carré l'équation implique ce qui est vrai si on a et (si tu a vu que est irrationnel, alors il est assez facile de montrer que c'est une équivalence).
Tout cela se termine par de l'arithmétique : peut tu trouver des entiers a,b tels que 2ab=2 et a²+2b²=3 ?
Si tu cherche un peu, tu verra que la réponse est oui et donc que dans ce cas particulier, la racine de racine se simplifie.

[Ericovitchi]

effectivement ça n'est pas simple à simplifier.
Et pourtant ça se simplifie car x=1/2 est une racine facile à trouver et on en déduit donc l'autre
Peut-être en montrant à l'envers que ton polynôme s'écrit

EDIT : grillé par Ben

[Nooby]

Merci beaucoup pour ta réponse détaillée ben314 et merci à toi ericovitchi également. J'ai compris la méthode et je suis arrivé à la mise en système :
2ab=2 ab=1
=3 d'où = d'où a=

Donc b=1 et b=

Je n'arrive pas à aller plus loin.

[Ericovitchi]

En élevant au carré ramènes toi à une équation bicarrée. En plus il y a une des solutions qui est évidente b=1

[Ben314]

Tu cherche... bien trop compliqué...
tu cherche des nombres entiers tels que :
et
l'étude passe par de l'arithmétique : donne moi TOUT les couples d'ENTIERS dont le produit fait 1...


Dans un cas plus général, si on avait par exemple ab=35, on en déduirait que a=1 ou 5 ou 7 ou 35 (les diviseurs de 35) ou -3,-5,-7,-35.
Ce serait légèrement plus compliqué si on cherchait a et b des quotients, mais ce serait le même genre de méthode : pas de "l'analyse", c'est à dire des calculs avec des racines... mais de "l'arithmétique" c'est à dire des raisonnement du type "il faut que a divise 99=3x3x11 donc a=1 ou a=3 ou a=9 ou a=11 ou a=33 ou a=99 (ou les opposés)"

P.S. avec "ta" méthode pour résoudre et tu devrait retomber au bout de quelques lignes... quasiment sur l'énoncé de départ....

[Nooby]

Je peux donc écrire a=b=1 ou a=b=-1 ?
Qu'est-ce que j'en fais ensuite ? Je choisis laquelle, -1 ou 1 ?

[Ben314]

Parfaitement, il te reste à regarder si ca marche ou pas dans la deuxième équation.
Si une des solution marche, tu as gagné : ca se simplifie.
Si aucune solution ne marche, tu as perdu, la racine de racine ne se simplifie pas (c'est trés souvent le cas, mais pas ici !)

[Ben314]

Tu fait aussi un peu attention que, pour chercher la simplification on a dit que IMPLIQUE mais ce n'est pas une équivalence :
Pour que ce soit une équivalence, il faut que soit positif (de toute façon, il est totalement impossible que racine(???) soit négatif)
Donc sur les "deux" solutions que tu trouve, une des deux ne marche pas.

Si tu veut t'entrainer, regarde si on peut simplifier (on peut...)

[Nooby]

Très bien donc je garde a=b=1 car a+b
Quand je développe l'expression de départ, j'ai . Je pense que le résultat est bon car en fait ce que je calcule c'est un cosinus d'angle que je cherche et cette valeur a l'air intéressante
Je cherche la seconde valeur... je trouve 1/2.

Merci beaucoup pour ton aide Ben. A la prochaine.

[Ben314]

Une (dernière) remarque : dans une rédaction "au propre", tout les calculs avec le a et le b peuvent ne pas apparaitre :
Tu peut écrire :
X=.... or, comme et que on a

C'est un peu de la triche (tu n'as pas expliqué comment tu avait trouvé le ), mais mathématiquement, c'est parfaitement correct...

[Nooby]

J'ai rédigé ma copie avec toutes les explications parce que mon professeur aime bien voir toutes les étapes et enlève pas mal de points sur la rédaction :s

Merci encore

[Sa Majesté]

Sinon on peut remarquer que le discriminant réduit


est du type (a-b)² + 4ab = a²-2ab+b²+4ab = a²+2ab+b² = (a+b)²

donc ça fait

ce qui simplifie grandement la suite