Calcul d'aire de triangle en "toile d'araignée"

[Bebopalula]

Bonjour à toutes et à tous,

Je vise à déterminer la formule mathématique, que je pourrai transposer dans Excel pour calculer l'aire d'un triangle dans le protocole suivant :

J'effectue une étude de marché où différents sujets sont évalués suivant trois critères A, B et C.

Chaque critère reçoit une évaluation de 0 à 5 points. Ils sont représentés dans un graphique type "toile d'araignée" à trois axes -l'angle entre chaque axe est de 120°-; la surface représentée est un triangle (cf. image ci-dessous avec trois exemples).

Question : quelle est la formule mathématique permettant de calculer l'aire du triangle à partir des évaluations A, B et C?

Merci pour vos lumières, et bonne année!

[mathelot]

...
conversation effacée, je n'avais pas compris la figure.

[lyceen95]

A mon avis, la méthode consiste à visualiser 3 triangles : OAB, OAC et OBC

...et très vite, on voit que l'aire est
où est un coefficient à déterminer.

Mais comme j'imagine que tu veux juste faire un classement,
devrait te convenir parfaitement.

Tu peux faire quelques contrôles tout simples sur cette formule :
par exemple (5,5,5) donne 3 fois plus que (0,5,5)
(4,4,2) donne 4 fois plus que (2,2,1)
(1,2,3) donne la même chose que (1,3,2) ...

Si tu as besoin de ce coefficient k, il faut faire un peu de trigonométrie. Ca ne devrait pas résister plus de 3 minutes aux matheux qui traînent par ici.

[mathelot]

...

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Le plus commode semble d'utiliser les coordonnées barycentriques dans le grand triangle.
Si est l'évaluation, les coordonnées barycentriques du sommet du triangle grisé vers A sont . Après, il ne reste plus qu'à calculer le déterminant formé par les trois systèmes de coordonnées barycentriques.
On peut faire ce calcul à la main, ou si on est paresseux le confier à un système de calcul formel.


PS. Une fois calcul fait, on retombe bien sur ce qu'a écrit lycéenn95. Quant au facteur k dans k(ab+bc+ca), si on prend l'aire 1 pour le grand triangle (correspondant à a=b=c=5), on trouve k=1/75

[Bebopalula]

A mon avis, la méthode consiste à visualiser 3 triangles : OAB, OAC et OBC

...et très vite, on voit que l'aire est
où est un coefficient à déterminer.

Mais comme j'imagine que tu veux juste faire un classement,
devrait te convenir parfaitement.

Tu peux faire quelques contrôles tout simples sur cette formule :
par exemple (5,5,5) donne 3 fois plus que (0,5,5)
(4,4,2) donne 4 fois plus que (2,2,1)
(1,2,3) donne la même chose que (1,3,2) ...

Si tu as besoin de ce coefficient k, il faut faire un peu de trigonométrie. Ca ne devrait pas résister plus de 3 minutes aux matheux qui traînent par ici.

Merci Lyceen95, pour l'utilisation finale que je vise à faire -faire visualiser à un client un positionnement de produit dans un marché-, c'est une solution tout aussi efficace et claire que je vais tester sur différents scénario. Merci pour ton temps!

[Bebopalula]

re,
je me lance avec un repère orthonormé
où est colinéaire à de norme 1, est colinéaire à de norme 1, est colinéaire à de norme 1.


Les points A,B,C ont pour coordonnées respectives:

où et appartiennent à


Les vecteurs ont pour coordonnées:




Concernant les longueurs des côtés du triangle ABC:
On pose






on calcule le demi-périmètre du triangle ABC:


Avec la formule de Héron, l'aire S du triangle ABC vaut

Merci Mathelot, Ah oui, je n'avais pas envisagé un repère orthonormé sur 3 dimensions : ta solution est très élégante et devrait répondre à mon besoin. Merci pour ton temps sur le sujet!

[Bebopalula]

Bonjour,

Le plus commode semble d'utiliser les coordonnées barycentriques dans le grand triangle.
Si est l'évaluation, les coordonnées barycentriques du sommet du triangle grisé vers A sont . Après, il ne reste plus qu'à calculer le déterminant formé par les trois systèmes de coordonnées barycentriques.
On peut faire ce calcul à la main, ou si on est paresseux le confier à un système de calcul formel.


PS. Une fois calcul fait, on retombe bien sur ce qu'a écrit lycéenn95. Quant au facteur k dans k(ab+bc+ca), si on prend l'aire 1 pour le grand triangle (correspondant à a=b=c=5), on trouve k=1/75

Merci Gabuzomeu! Très utile retour aussi; ça me pousse à investiguer la formule de calcul de k qui nécessite sans aucun doute un eu de trigonométrie. Merci pour ton temps sur le sujet

[catamat]

Bonjour (autre méthode)
Soit A=(a,0,0) B=(0,b,0) C=(0,0,c)
J'ai calculé à partir du volume du tétraèdre V=(abc)/6

La hauteur h relative à la base ABC, notée S, est la distance de O au plan (ABC) dont une équation est
bcx+acy+abz-abc=0

Donc h=

On a V=

On en tire S=

[mathelot]

...

[GaBuZoMeu]

Non, pas un poil de trigonométrie pour le calcul de k.

[mathelot]

...

[GaBuZoMeu]

Le résultat a déjà été essentiellement donné par lycéen95 : , valant 1 pour les scores maximaux .

[mathelot]

Merci beaucoup, GaBuZoMeu

[mathelot]

Le plus commode semble d'utiliser les coordonnées barycentriques dans le grand triangle.
Si est l'évaluation, les coordonnées barycentriques du sommet du triangle grisé vers A sont . Après, il ne reste plus qu'à calculer le déterminant formé par les trois systèmes de coordonnées barycentriques.

@gbzm peux tu expliquer d'où vient cette formule ? fait elle intervenir le centre de gravité d'un triangle ?

d'autre part, peut-on la généraliser à quatre dimensions ? à cinq dimensions ?
ça peut être intéressant, vû que commercialement, il y a souvent de nombreux critères à prendre en compte.

[lyceen95]

Ici, on a 3 axes, et le dessin est en dimension 2.
Tu parles de 4 voire 5 dimensions.
C'est à dire ? 4 axes avec un dessin en dimension 2 ?
4 axes avec une forme (une pyramide) en dimension 3 ?

4 axes avec un dessin en dimension 2, c'est problématique. L'ordre des axes va avoir un impact sur la surface, et ça, ce n'est pas naturel du tout. Ce n'est certainement pas l'objectif voulu.
(5,0,5,0), ça va donner une surface nulle ! Mais pas (5,5,0,0).

4 axes en dimension 3, c'est une pyramide, et là , ok, (5,0,5,0) ou (5,5,0,0), ça va donner le même volume.
C'est en fait la somme de 4 pyramides qui ont toutes comme sommet le centre du graphique....

5 axes, il faudrait une 'forme !!' en dimension 4 pour que l'ordre des axes n'ait pas d'impact. C'est mort.

[mathelot]

...

[GaBuZoMeu]

Avec points en dimension et des évaluations de 0 à 5 :

[mathelot]

...

[GaBuZoMeu]

Avec un décalage de 1 sur , je viens de te donner la réponse. Tu n'as pas vu ?