Calcul aire parabole (Suites)

[victen]

Bonjour à tous,

Un problème me rend la tâche compliqué !

On considère la fonction f définie sur R par f(x) = 1 - x^2 e Cf sa coure représentative dans un repère orthonormal. Le but est de déterminer la valeur de l'aire de la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, la courbe Cf et les droites d'équation x=0 et x=1. On divise le segment (0;1) en n segments. On note A(n) l'aire recherchée.

L'aire A(n) cherchée est comprise entre l'aire Un, somme des aires des rectangles inférieurs et l'aire Vn qui est la somme des aires des rectangles inférieurs.

Questions

1) J'ai montré par récurrence que 1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2 = (n(n+1)(2n+1))/6 pas besoin d'y revenir

2) Determiner Un et Vn en fonction de n

3) Donner un encadrement de A(n) en fonction de n

Il reste 3 questions par la suite que je suis incapable de resoudre sans les questions 2) et 3). Elles me débloqueraient le problème !

Merci de votre aide :lol3:

[Manny06]

Bonjour à tous,

Un problème me rend la tâche compliqué !

On considère la fonction f définie sur R par f(x) = 1 - x^2 e Cf sa coure représentative dans un repère orthonormal. Le but est de déterminer la valeur de l'aire de la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, la courbe Cf et les droites d'équation x=0 et x=1. On divise le segment (0;1) en n segments. On note A(n) l'aire recherchée.

L'aire A(n) cherchée est comprise entre l'aire Un, somme des aires des rectangles inférieurs et l'aire Vn qui est la somme des aires des rectangles inférieurs.

Questions

1) J'ai montré par récurrence que 1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2 = (n(n+1)(2n+1))/6 pas besoin d'y revenir

2) Determiner Un et Vn en fonction de n

3) Donner un encadrement de A(n) en fonction de n

Il reste 3 questions par la suite que je suis incapable de resoudre sans les questions 2) et 3). Elles me débloqueraient le problème !

Merci de votre aide :lol3:

tes segments ont pour longueur 1/n
le premier rectangle a pour hauteur f(1/n) et pour largeur 1/n donc son aire est (1/n)*f(1/n)
pour le 2° (1/n)*f(2/n)
etc pour le n° (1/n)*f(n/n)


pour les rectangle supérieurs c'est le même principe sauf que tu commence à 0 et tu finis à (n-1)/n

[victen]

Pour les rectangles inférieurs (Un) je trouve

Un=S(1/n)(1-k^2/n^2) = (1/n)(1+2^2+3^2+...+n^2)
= 1-(1/n^3)(n(n+1)(2n+1))/6
= 1-((n+1)(2n+1))/6n^2

Mais je n'arrive pas pour les rectangles supérieurs

[Manny06]

Pour les rectangles inférieurs (Un) je trouve

Un=S(1/n)(1-k^2/n^2) = (1/n)(1+2^2+3^2+...+n^2)
= 1-(1/n^3)(n(n+1)(2n+1))/6
= 1-((n+1)(2n+1))/6n^2

Mais je n'arrive pas pour les rectangles supérieurs

c'est presque le même calcul
SVn=(1/n)(1-0²/n²+1-1²/n²+.....+1-(n-1)²/n²)
=1-(Sk²/n²)/6n³ ou la somme des k² va de k=0 à k=n-1 soit de k=1 à k=n-1 il suffit donc que tu remplaces dans la formule de la somme des carrés n par n-1