Calcul d'aire avec des fonctions polynôme

[lorys27]

Bien le bonjour ! voila je suis bloqué sur le 4ème exercice de mon Dm sur les primitive et intégration (même si je pense que dans cette exercice il y a aussi des dérivées)
alors voila mon problème :

je dois trouver le point d'intersection d'une courbe de fonction f(x)=-((x^3)/27)+(x^2/3)
j'ai vérifier graphiquement et je sais que la courbe coupe en x=9
mais je n'arrive pas a trouvé comment le faire par le calcul j'ai essayer plusieurs chose (primitive, différent type de dérivée) mais je n'y arrive pas...

merci d'avance !

[Lostounet]

Bien le bonjour ! voila je suis bloqué sur le 4ème exercice de mon Dm sur les primitive et intégration (même si je pense que dans cette exercice il y a aussi des dérivées)
alors voila mon problème :

je dois trouver le point d'intersection d'une courbe de fonction f(x)=-((x^3)/27)+(x^2/3)
j'ai vérifier graphiquement et je sais que la courbe coupe en x=9
mais je n'arrive pas a trouvé comment le faire par le calcul j'ai essayer plusieurs chose (primitive, différent type de dérivée) mais je n'y arrive pas...

merci d'avance !

Bonjour Lorys,

Tu as proposé la fonction f, donnée par f(x) = -((x^3)/27)+(x^2/3)
Tu dis que tu veux chercher le point d'intersection de la courbe de f... mais tu ne dis pas avec quelle autre courbe ou droite !

Par contre, je pense que tu cherches l'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.

On sait que les points de la courbe de f ont des coordonnées de la forme (x ; f(x)). Non?
Par exemple pour x = 1, on a f(1) = -1/27+1/3 = 8/27 donc (1;8/27) est sur la courbe de f.
Tu sais que tous les points de l'axe des abscisses ont une ordonnée nulle, donc de la forme (x ; 0).

On cherche donc les points de la courbe de f tel que leur ordonnée soit nulle, donc les x tels que
(cela n'a a priori pas grand rapport avec des primitives ou des dérivées...)

On doit donc résoudre l'équation:
f(x) = 0
donc
Comment faire? Qu'est-ce qui te gène ici? Les fractions?
Il suffit de multiplier les deux cotés de l'équation par 27 ! Tu y verras plus clair.

[lorys27]

je vois ce que tu veut dire mais si je multiplie pas 27 et si je suis la logique par 3 cela vas juste les annuler sur la fonction de base et me laisser avec (x^3)+(x^2) = 0
non ?

[Lostounet]

Non, ceci n'est pas vrai !

Pour ne jamais faire d'erreurs de calcul, je te conseille d'identifier quelle règle tu utilises. Si tu regardes ici:
https://www.maths-forum.com/college-pri ... 20839.html

On va utiliser la toute première règle, qui est que



Multiplions par 27 les deux membres:



donc par la règle k(a+b) =ka+kb, avec k = 27 et a = -x^3/27 et b = x^2/3, nous obtenons:




Mais multiplier par 27 puis diviser par 27... c'est ne rien faire ! donc le premier terme devient -x^3
Mais le deuxième, il faut le simplifier ! En utilisant le fait que 27 = 3*9, tu peux peut-être simplifier cette fraction 27x^2/3 ?

[lorys27]

si je simplifie le tout ça me donne (-x^3)+(9x^2) = 0

[Lostounet]

si je simplifie le tout ça me donne (-x^3)+(9x^2) = 0

C'est exact.
Mais comment trouver x? C'est pas évident encore. L'astuce quand tu as du x^2 ou x^3, c'est toujours d'essayer de ramener l'équation à un produit qui vaut 0: on pourra alors dire que l'un (au moins) des facteurs est nul.


Maintenant, tu dois utiliser la même règle k(a+b) = k*a+k*b mais dans l'autre sens !!

Dire que:
C'est exactement dire que:


Et ici, si on prend k = x^2, a = -x et b = 9 on a bien ka+kb que l'ont peut factoriser en k(a+b) ! Et c'est un produit qui vaut 0

[lorys27]

Et dans ces cas là x^2(9-x) = 0
x^2 = 0 donc x = 0
et 9-x = 0 donc x = 9

[Lostounet]

Exactement !
Tu avais bien vu la solution x = 9 mais tu avais loupé la solution x = 0

Mais maintenant tu as pu obtenir par le calcul les deux valeurs de x tel que f(x) = 0

[lorys27]

Merci beaucoup tu m'as sorti d'une galère ! et en fait je parlé de primitive car après il faut trouver l'aire de la courbe entre 0 et 9 mais du coup j'utiliserai cette formule :

[Lostounet]

Oui, c'est la définition de l'aire sous la courbe d'une fonction (continue sur le segment [0;9]). Sans oublier le "dx" bien entendu !

Et qu'as-tu fait pour calculer cette intégrale? Il suffit de se rappeler que l'intégrale d'une somme est la somme des intégrales et de la formule de l'intégrale de x^n !

[lorys27]

Tout a fait, le calcul devient juste massif XD



après on ajuste à remplacer x par 0 et 9 on soustrait les 2 résultats et voilà !

[Lostounet]

C'est exact !



Par linéarité de l'intégrale:






Et donc pour conclure, que trouves-tu pour la valeur de I ?

[lorys27]

je trouve une aire d'environ 20.25 unité d'aire

[Lostounet]

Oui mais moi je veux une valeur exacte sous forme de fraction !

[lorys27]

81/4 monsieur !

[Lostounet]

C'est exactement 81/4

Il ne faut pas avoir peur du calcul, au contraire. C'est une intégrale très simple.
As-tu d'autres questions?

[lorys27]

he bien on vient de faire l'exo donc non, je te remercie d'avoir pris de ton temps pour m'aider ^^

[Lostounet]

Super, content de t'avoir été utile.
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