Bornes d'une fonction

[Coolman59]

Bonjour à tous !

J'ai un ptit soucis avec les fonctions bornées.. en fait ya plusieurs soucis, mais autant commencé par celui qui m'embête le plus !

j'ai une fonction :
g(x) : R => R
x => (2x²+1) / (x² +1)

Et là, on me demande de démontrer que pour tout réel x, on a : 1 == 0
2x² >= 0
2x²+1 >= 1

//

x² >= 0
x² + 1 >= 1

Donc :
1 =< 2x²+1
1 =< x² + 1

Donc : 1 =< g(x)
Je n'ai pas fais d'erreur à ce niveau là, déjà ? :s
[/quote]

Alors après, je me base encore et toujours sur cet exo fait en cour (j'étais pas là lors du cours, ca doit etre pour ça que je galère...)

g(x)-2 = ( (2x²+1) / (x²+1) ) + 2
= (2x²+1-2(x²+1)) / (x²+1)
= - 1 / (x²+1)

- 1 est négatif
(x²+1) est positif

Donc :
g(x)-2 =< 0
g(x) =< 2

Si on reprends le résultat d'en haut, on obtient :
1 =< g(x) =< 2

Mais ce qui m'embete, c'est... pourquoi avoir fait g(x)-2 ?
(dans l'exo fait en cour, c'était -1 ...)

Surtout que si au lieu de faire de prendre g(x)-2 ; je prends g(x)-3 j'arrive à trouver : g(x) =< 3 ce qui est faux...

Merci d'avance pour votre aide à tous !

Ps : si ca peut aider, je débute en 1ère S.

[Kah]

En fait, si g<=2, alors g<=a tout réel supérieur a 2, donc 3 compris.
Le reste de ton exercice est bon a priori

[Coolman59]

Ah, c'est donc ça ! :o

J'ai réessayé avec g(x)-1

Je trouve bien :
g(x)=>0 !

Donc si je comprends bien le "-2", c'est plus du flair qu'autre chose... ?

Ou sinon, faut tester ? (bon là, c'était écrit dans l'énoncé, donc bon :)

Bah si c'est ça, c'est tout good, merci bien ! :D

[Kah]

Du flair... pas vraiment. je prends un autre exemple arbitraire:

Tu veux prouver que f(x)<27
Et bah tu calcules f(x)-27, puis tu fait une etude du signe.
C'est un methode qui marche tres souvent et qu'il faut connaitre.

[Coolman59]

Ok !

Là au moins, c'est clair ! xD

Merci encore :)

Je reviendrai (sur le même sujet) avec une autre ptite question si j'ai pas trouvé (d'ici demain). Faut bien chercher un peu :)

Bonne soirée à toi ('fin, bonne nuit !) et merci.

[Kah]

toi aussi. a+

[Coolman59]

Je reviens faire un ti coucou pour savoir si j'ai bien tout compris et une ptite question au fond d'ma poche !

J'ai une belle fonction :
f(x) : [-2 ; 2] => R
x => x²-3

Et je dois démontrer que celle-ci est bornée.

Donc, j'ai fais ainsi :

Au début, j'aurai bien fais comme ça :
Pour tout x réel, on a :

x² >= 0
x²-3 >= -3

Donc, on a :
-3 == x² >= 2²
4 = R
x => 3x - 5

Ca me parait évident mais pour le démontrer, euh... ?

Vouala, si vous sauriez me dire quoi et ce qui ne va pas... (le DS arrive en plus, faut que je sois sûr :O)

[Kah]

PS : J'ai peut-être une autre version en commencant direct par : -2 == x² >= 2² 4 =< x² =< 4 4-3 =< x²-3 =< 4-3 1 =< x²-3 =< 1 Sauf que si j'fais comme ça... le résultat est plus que bancale O_O

tu remarquera -2^2=-2*-2, il faut donc changer le sens de l'inegalité de
4 =< x² =< 4 qui devient donc x²=<4. on retombe bien sur le bon resultat que tu as trouvé! bravo!
Tu as aussi une autre méthode: tu sais que la representation graphique de la fonction x^2 donc x^2+3 est une parabole, donc que f(-2)=f(2)
Comme ta fonction n'as pas subi de changement du type g(x)=(x+a)^2-3 (par rapport a la fonction de reference f(x)=x^2), et comme le signe devant le x^2 est positif, tu sais alors que le minimum de cette fonction est atteint en 0. Or 0 appartient a [-2 ; 2] et comme f(0)=0^2-3=-3, ta fonction est bornée par -3 et 1.

En remarquant que la methode que tu as utilisé est plus "au flair".


Pour ton autre exercice, tu as deja abordé les limites?

[Coolman59]

Oki !

Le hic, c'est qu'avec ta méthode, si la fonction n'est pas carré, ca passera pas je pense. :/

Les limites : pas encore vu du tout !

:)

[Kah]

Le hic, c'est qu'avec ta méthode, si la fonction n'est pas carré, ca passera pas je pense. :/

Oui bien sur, sa ne marche que pour des fonctions du type:
f(x)=(x+a)^2+b, avec f(-a) le minimum.


Pour l'autre exercie, sans limites, j'ai pas d'idées pour le moment. desolé.

[Coolman59]

Oki, c'pas grave, on va démontrer ça à l'ancienne xD

Merci de ton aide :)

[Coolman59]

Ti dernière question (si j'y arrive :o)

Ya un méthode pour trouver les bornes d'un combiné de fonction ou c'est à l'ancienne ? :o

[Kah]

Oui c'est plus a l'ancienne: tu prends ta calculatrice, tu te donnes une idée des bornes et tu t'arange pour encadrer ta fonction entre ces bornes.

Pour les 2nd exercice, tu peux dire que f(x) est une fonction affine croissante sur R et linéaire, c'est a dire ne variant pas. Pour x qui tends vers + l'infini, f(x) tends vers + l'infini, et inversement avec - l'inifini. elle n'est don pas bornée.

[Coolman59]

Comment qu'on faisait sans calculette avant, aie aie aie ! :o

Pas bète pour la fonction affine !

Merci pour tout :)