Borne d'une suite

[max8888]

Bonjours j'ai besoin d'aide pour un exercice de dm que je ne sais pas résoudre.

Voici l'énonce:

On définit la suite u par U0=2 et Un+1=Racine carré de Un pour tout n >= 0
Montrer que la suite est bornée par 1 et 2.

Merci de votre aide ;)

[Rebelle_]

Bonsoir =)

Par récurrence ? ;)

[max8888]

Dans ce cas, P(n):"1>=Un=<2"
Initialisation P(n0) est vraie car 1>=2=<2

Hérédité: P(p) vraie c'est à dire 1>=Up=<2
Cela entraine t-il P(p+1) vraie? c'est à dire 1>=Up+1=<2

Jusque là c'est bon ? Mais je n'arrive pas à démontrer que P(p+1) est vraie :s

Aidez moi s'il vous plait.

[Mortelune]

Tu peux peut être essayer de montrer par récurrence décroissante et minorée par 1, ce qui revient au même.

[max8888]

On veut montrer par récurrence la proposition :
P(n) : "1 =< un =< 2" pour tout n positif.

a) P(0) est vraie : 1 =< u0 = 2 =< 2

b) Supposons P(p) vraie et tentons de démontrer P(p+1)
On suppose donc que : 1 =< up =< 2
On prend la racine carrée membre à membre (ce qui est possible, car tous les membres sont positifs) :
1 =< Vup =< V2
1 =< u(p+1) =< V2
Or V2 =< 2, donc :
1 =< u(p+1) =< 2
et P(p+1) est vraie


Est-ce possible ? mais je ne suis pas sur du sens de l'encadrement et V2 n'est pas égale à 2 mais je ne sais pas comment me débarrasser de ma racine :s

[Mortelune]

Oui ta solution fonctionne comme tu appliques une fonction croissante.

[Arnaud-29-31]

Bein si c'est comme ca qu'il faut faire ...
Une fois que tu as montré que c'est gagné puisqu'on a bien