Bonjours à tous :) J'ai besoin d'un peu d'aide !

[Lency410]

Bonjour! :salut: J'ai deux exercices à faire concernant les nombres complexe et les suites arithmétiques..

Exercice 1: Résoudre dans C les équations suivantes. Donner le résultat sous forme algébrique. (détaillez les calculs et pensez à vérifier à l'aide de votre calculatrice)


1. 2z-3i=(1+i)z+4-2i

2. z=2z(barre)-3+6i


Tout part de i^2=-1 ...


1.Résoudre dans c l'équation z^2=-3

2.On cherche tous les nombre complexes z tels que z^2-8z+41=0
(a) Vérifier que z^2-8z+41=(z+4)^2+25.
(b) En déduire les solutions de l'équation z^2-8z+41=0.
(c) Que peut-in remarquer sur les solutions?



Exercice 2: On considère les suites définies, pour tou entier naturel n, ao=0 et bo=12 et
an+1=(2an+bn)/3 et bn+1=(an+2bn)/3

1.Calculer a1, b1, a2 et b2.

2.On considère la suite (Un) définie, pour tout entier naturel n, par Un=bn-an.
(a) Montrer que la suite (Un) est une suite géométrique de raison q=1/3
(b) En déduire l'expression de Un, en fonction de n.

3.On considère la suite (Vn) définie, pour tout entier naturel n, par Vn=an+bn. Démontrer que la suite (Vn) est une suite constante.

4.(a) Exprimer an et bn en fonction de Un et Vn, puis en fonction de n.
(b) En déduire les limites des suites (an) et (bn).


Voila les deux exercices. J'ai eu le sujet aujourd'hui donc j'ai pas encore eu le temps de travailler dessus pour le moment. Je vous joins mes réponses dès que possible ! Si vous pouvez me guider sur certains points ça serait sympas de votre part. Merci.

[ampholyte]

Bonjour,

Essaye déjà de voir de ton côté et n'hésite pas à venir poser les questions ou les difficultés que tu auras ici.

[mathelot]

Bonjour! :salut: J'ai deux exercices à faire concernant les nombres complexe et les suites arithmétiques..

Exercice 1: Résoudre dans C les équations suivantes. Donner le résultat sous forme algébrique. (détaillez les calculs et pensez à vérifier à l'aide de votre calculatrice)


1. 2z-3i=(1+i)z+4-2i
calculer comme si z était un nombre (équation du 1er degré)
... d'ailleurs c'est un nombre.


2. z=2z(barre)-3+6i
passer aux coordonnées, à cause du zbar

Tout part de i^2=-1 ...


1.Résoudre dans c l'équation z^2=-3
i^2=-1
écrire l'équation comme une différence de deux carrés ,ie, de la forme U^2-V^2=0

2.On cherche tous les nombre complexes z tels que z^2-8z+41=0
(a) Vérifier que z^2-8z+41=(z-4)^2+25.
(b) En déduire les solutions de l'équation z^2-8z+41=0.
(c) Que peut-on remarquer sur les solutions?

effectivement, il y a un lien entre les deux racines

Exercice 2: On considère les suites définies, pour tou entier naturel n, ao=0 et bo=12 et
an+1=(2an+bn)/3 et bn+1=(an+2bn)/3

1.Calculer a1, b1, a2 et b2.

2.On considère la suite (Un) définie, pour tout entier naturel n, par Un=bn-an.
(a) Montrer que la suite (Un) est une suite géométrique de raison q=1/3
(b) En déduire l'expression de Un, en fonction de n.

3.On considère la suite (Vn) définie, pour tout entier naturel n, par Vn=an+bn. Démontrer que la suite (Vn) est une suite constante.
on peut déterminer a(n) et b(n) à partir des égalités vérifiées par u(n) et v(n)
4.(a) Exprimer an et bn en fonction de Un et Vn, puis en fonction de n.
(b) En déduire les limites des suites (an) et (bn).
discuter selon lim q^n quand n tend vers l'infini
.

....................

[zygomatique]

salut

1/ i est un nombre ....

2/ en notant z* le conjugué de z

z = 2z* - 3 + 6i
z* = 2z - 3 - 6i

par soustraction :: z - z* = 4i

par addition :: z + z* = 6

donc z = 3 + 2i

.....

[Lency410]

Exercice 1:

1.
2z-3i=(1+i)z+4-2i On pose z=x+iy
2(x+iy)-3i=(1+i)(x+iy)+4-2i
2x+2yi+3i=x+iy+ix+yi^2+4-2i
2x+2yi-3i=x+yi+ix-y+4-2i
x+yi-i-ix+y-4=0
i(y-1-x)+x+y-4

Im: y-1-x
Re: x+y-4

Pour que l'équation soit égale à zéro (nombre complexe) Im et Re doivent être égale à zéro.

y-1-x=0 y=x+1 y=x+1 y=5/2
x+y-4=0 x+x+1-4 x=3/2 x=3/2

2.
z=2z(barre)-3+6i On pose z=x+iy donc z(barre)=x-iy
(x+iy)=2(x-iy)-3+6i
(x+iy)=2x-2iy-3+6i
0=x-iy-3+6i
0=i(-y+6)+x-3

Im: -y+6
Re: x-3

D'où en identifiant les partie réelles et imaginaires:

-y+6=0 y=6
x-3=0 x=3

alors z=2(2+6i)-3+6i
z=4+18i

Donc z=4+18i est la seule solution de l'équation z=2z(barre)-3+6i

[zygomatique]

vérifie ....

[mathelot]

Bonjour! :salut: J'ai deux exercices à faire concernant les nombres complexe et les suites arithmétiques..

Exercice 1: Résoudre dans C les équations suivantes. Donner le résultat sous forme algébrique. (détaillez les calculs et pensez à vérifier à l'aide de votre calculatrice)


1. 2z-3i=(1+i)z+4-2i

[Lency410]

Je doit ajouter ce calcule à ma réponse pour déterminer z ?

[zygomatique]

c'est la réponse !!!

il n'est nul besoin de passer par l'expression z = x + iy

tu as simplement une équation du premier degré à une inconnue .... que tu as appris à résoudre au collège ...

[mathelot]

tu es dans un corps ( est le corps des complexes)
où l'on sait diviser par .
de ce point de vue, la 1ere équation est une équation du premier degré
que l'on résout par les méthodes classiques:
- séparer les variables z des constantes
- diviser les deux membres de l'égalité par le coefficient de z.

[zygomatique]

mathelot ::

perso je préfère toujours faire ::

(1 - i)z = 4 + i <=> (1 + i)(1 - i)z = (1 + i)(4 + i)

une division par un réel (non complexe) ne posant aucun problème ....

[mathelot]

une division par un réel (non complexe) ne posant aucun problème ....

qu'appelles tu des réels non complexes ? :doh:

[zygomatique]

pardon : z =a + 0i = a ....

[Lency410]

Pour ce qui en est de la question 2. de l'exo 1, ma démarche est-elle correcte ?

[Lency410]

Exercice 2:

1.
A1= (2/3)i
B1= (4/3)i
A2= (8/9)i
B2= (10/9)i

2.
a) Un= Bn-An
Pour montrer qu'une suite est géométrique, on montre qu'il existe un réel q constant tel que, pour tout entier n, Un+1=q*Un.
Or Un+1=Bn+1 - An+1
Alors q=Un+1/Un
q= (2/9)i / (2/3)i = 1/3

donc la suite (Un est une suite géométrique de raison q=1/3.

b) Uo=Ao-bo= -2i
Un= Uo*q^n
Un=-2i*(1/3)^n

3. Vn=An+Bn
Une suite Vn est constant si et seulement si q=0.
Or Vn+1=An+1 + Bn+1
Alors q=Vn+1/Vn
q= (18/9)i/(6/3)i= 2i/2i=0

Donc la suite Vn est constante.

4.
a) Vn= An+Bn
d'où An=Vn-Bn
et
Un=Bn-An
d'où Bn= Un+An
Donc An= vn-(un+An)
et bn= Un+(vn-Bn)

(il me reste a déduire les limites des suites.)