Bonjour. Pourriez-vous me venir en aide pour un DM de maths

[Zleto21]

DEVOIR MAISON

Exercice 1

Pour obtenir un taux de remplissage convenable, les compagnies aériennes sont régulièrement amenées à réserver davantage de places que n'en comporte l'avion. Il faut cependant évaluer le risque de surréservation car les passagers ayant réservé et ne pouvant embarquer doivent être dédommagés.

On considère une ligne aérienne entre deux villes pour laquelle :

- tous les avions utilisés ont 50 places;

- 53 réservations sont vendues pour chaque vol;

- chaque personne ayant réservé une place a 9 chances sur 10 de se présenter à l'embarquement (et 1 chance sur 10 de ne pas s'y présenter);

- chaque personne ayant réservé une place se présente ou non à l'embarquement indépendamment des autres personnes ayant réservé sur le même vol.

On désigne par x la variable aléatoire qui, à tout vol pris au hasard sur cette ligne, associe le nombre de personnes se présentant à l'embarquement.

Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale et déterminer ses paramètres.

Exercice 2 : Schéma de Bernoulli de paramètres n = 3 et p = 0,2.

Une urne contient 2 boules noires et 8 boules blanches. On prélève une boule au hasard dans l'urne. Toutes les boules ont la même probabilité d'être prélevées. On désigne par N l'événement : "la boule prélevé est noire" et par B l'événement : "la boule prélevée est blanche".

1) Compléter l'arbre de probabilité suivant correspondant à cette épreuve de Bernoulli.

(Ici l'arbre de probabilité de paramètre 0,2 pour l'événement N, compléter l'événement B et le reste de l'arbre).

2) a) Trois prélèvement dans l'urne sont successivement réalisés en remettant à chaque fois la boule dans l'urne avant d'effectuer le prélèvement suivant. Représenter cette épreuve par un arbre pondéré.

b) Calculer la probabilité de l'évènement E : "obtenir trois boules noires".

c) On désigne par F l'événement : " obtenir exactement deux boules noires".

Démontrer que P(F) = 0,096.

Exercice 3

Sachant que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p, calculer :

a) pour n = 6 et p = 0,4 : P(X = 3), P(X = 0), P(X 2).

b) pour n = 6 et p = 0,6 : P(X = 6), P(X 2), P(X > 1).

[titine]

Je suppose que tu as étudié la loi binomiale en cours.
Relis ton cours.

Commençons par l'exercice 1. Essaye de le faire. Dis nous ce que tu en penses.
Nous passerons au 2 après.

Bon courage. A tout à l'heure.

[Zleto21]

Je suppose que tu as étudié la loi binomiale en cours.
Relis ton cours.

Commençons par l'exercice 1. Essaye de le faire. Dis nous ce que tu en penses.
Nous passerons au 2 après.

Bon courage. A tout à l'heure.

Salut

Pour l'exercice 1

Schéma de Bernoulli de paramètres 53 et 0,9

Les conditions de la loi binomiale :
soit une expérience aléatoire qui ne comporte que deux résultats : le succès (S) et l'échec (S¯). On pose p=p(S) et q=p(S¯)=1;)p(S). Si je comprends bien p=0,9 et q=0,1=1-0,9
On réitère n fois l'expérience, les répétitions sont indépendantes.
On pose X = "nombre de succès au cours des n répétitions".
Donc le succès correspond à la présence de la personne à l'embarquement au cours des 53 réservations qui réitère l'expérience du fait que personne se présente ou pas après chaque réservation.
On dit alors que X suit la loi binomiale de paramètres n et p.

[titine]

Salut

Pour l'exercice 1

Schéma de Bernoulli de paramètres 53 et 0,9

Les conditions de la loi binomiale :
soit une expérience aléatoire qui ne comporte que deux résultats : le succès (S) et l'échec (S¯). On pose p=p(S) et q=p(S¯)=1;)p(S). Si je comprends bien p=0,9 et q=0,1=1-0,9
On réitère n fois l'expérience, les répétitions sont indépendantes.
On pose X = "nombre de succès au cours des n répétitions".
Donc le succès correspond à la présence de la personne à l'embarquement au cours des 53 réservations qui réitère l'expérience du fait que personne se présente ou pas après chaque réservation.
On dit alors que X suit la loi binomiale de paramètres n et p.

C'est à peu près ça.
Une personne ayant pris une place se présente à l'embarquement (E) ou non.
P(E)=0,9 et P(Ebarre) = 1-0,9 = 0,1
C'est une épreuve de Bernoulli (car 2 issues) de paramètre p=0,9
Il y a 53 personnes ayant pris un billet.
Chacune de ces personnes se présente à l'embarquement ou pas, indépendamment des autres.
Donc cela revient à recommencer 53 fois de manière indépendante l'épreuve de Bernoulli ci dessus.
Soit X la variable aléatoire donnant le nombre total de personnes se présentant à l’embarquement. (Autrement dit X=nombre de succès)
Par définition X suit la loi binomiale de paramètres n=53 et p=0,9

Ok.
Passe au suivant.

[Zleto21]

C'est à peu près ça.
Une personne ayant pris une place se présente à l'embarquement (E) ou non.
P(E)=0,9 et P(Ebarre) = 1-0,9 = 0,1
C'est une épreuve de Bernoulli (car 2 issues) de paramètre p=0,9
Il y a 53 personnes ayant pris un billet.
Chacune de ces personnes se présente à l'embarquement ou pas, indépendamment des autres.
Donc cela revient à recommencer 53 fois de manière indépendante l'épreuve de Bernoulli ci dessus.
Soit X la variable aléatoire donnant le nombre total de personnes se présentant à l’embarquement. (Autrement dit X=nombre de succès)
Par définition X suit la loi binomiale de paramètres n=53 et p=0,9

Ok.
Passe au suivant.

Exercice 3

Fait à la calculatrice :

a) pour n = 6 et p = 0,4 : P(X = 3) = 0.27648, P(X = 0) = 0.046656, P(X 2) = 0.54432 mais je comprends pas.

b) pour n = 6 et p = 0,6 : P(X = 6) = 0.046656, P(X 2) = 0.1792, P(X > 1) = ? Idem je comprends pas.

[titine]

Exercice 3

Fait à la calculatrice :

a) pour n = 6 et p = 0,4 : P(X = 3) = 0.27648, P(X = 0) = 0.046656, P(X 2) = 0.54432 mais je comprends pas.
Qu'est ce que tu ne comprends pas ?
b) pour n = 6 et p = 0,6 : P(X = 6) = 0.046656, P(X 2) = 0.1792, P(X > 1) = ? Idem je comprends pas.

L'évènement contraire de (X>1) est (X;)1)
D'accord ?
Donc P(X>1) = 1 - P(X;)1)
La calculatrice te donne P(X;)1) (avec binomcdf ou binomfrep sur Texas, sur Casio je ne sais plus, je crois que c'est binom C.D)
En faisant 1 - P(X;)1) tu obtiens P(X>1)

Tous tes résultats sont exacts.

[Zleto21]

L'évènement contraire de (X>1) est (X;)1)
D'accord ?
Donc P(X>1) = 1 - P(X;)1)
La calculatrice te donne P(X;)1) (avec binomcdf ou binomfrep sur Texas, sur Casio je ne sais plus, je crois que c'est binom C.D)
En faisant 1 - P(X;)1) tu obtiens P(X>1)

Tous tes résultats sont exacts.

J'ai besoin de connaître les calculs détaillés de l'exercice 3 pour vérifier les résultats.

P(X>1) = 0.95904

[Zleto21]

Mon devoir complet :