Bloque sur un exercice d'exponentielle avec suite

par **yrty** » 07 Fév 2010, 20:17

Sur mon DM il y a juste cet exo qui me pose problème ( si qqun pourais m'aider :we: ):

On considère la fonction f définie sur ]0;+infini[ par: f(x)= x/(exp(x)-1)

1°)
Déterminer la limite de la fonction f en 0.
Déterminer la limite de la fonction en +infini.

2°)
Soit (Un) la suite définie pour tout n entier supérieur ou égal à 1 par : Un= (1/n)*(1+exp(1/n)+exp(2/n)+...+exp((n-1)/n) ).

Démontrer que 1+exp(1/n)+exp(2/n)+...+exp((n-1)/n) = (1-e)/(1-exp(1/n)) et en déduire que: Un=(e-1)f(1/n) .

En déduire que la suite (Un) converge vers e-1 .

Pour le 1°) j'ai réussi mais je bloque au 2°), si qqun trouve sa serait sympa ^^ :happy2:

par **Sa Majesté** » 07 Fév 2010, 20:29

Salut
1+exp(1/n)+exp(2/n)+...+exp((n-1)/n) est la somme des termes d'une suite géométrique de raison q=exp(1/n)

par **yrty** » 07 Fév 2010, 20:33

Comment tu as fait pour trouver directement la raison, car c'est sa qui me bloque?

par **yrty** » 07 Fév 2010, 20:37

Sa Majesté a écrit:Salut
1+exp(1/n)+exp(2/n)+...+exp((n-1)/n) est la somme des termes d'une suite géométrique de raison q=exp(1/n)

Comment tu as fait pour trouver directement la raison, car c'est sa qui me bloque?

par **Sa Majesté** » 07 Fév 2010, 20:52

Pour passer d'un terme au suivant tu multiplies par exp(1/n)

exp(2/n) = exp(1/n) x exp(1/n)
exp(3/n) = exp(1/n) x exp(2/n)

etc

par **yrty** » 07 Fév 2010, 20:57

Merci beaucoup, j'ai compris maintenant, mais il me reste un problème j'ai calculer
Un=(1/n)((1-e)/(1-e(1/n))) mais je ne trouve pas Un=(e-1)f(1/n)?

par **Sa Majesté** » 07 Fév 2010, 21:00

yrty a écrit:Merci beaucoup, j'ai compris maintenant, mais il me reste un problème j'ai calculer
Un=(1/n)((1-e)/(1-e(1/n))) mais je ne trouve pas Un=(e-1)f(1/n)?

Vraiment ?
Réfléchis un peu ...

par **yrty** » 07 Fév 2010, 21:05

Sa y ait jai reussi, je mettais trompé dans les signes ^^, maintenant je vais matteler a la derniere question ^^, merci beaucoup pour ton aide.

par **yrty** » 07 Fév 2010, 21:14

Pour la convergence, je vois pas pourquoi c'est marquer en deduire car d'accord
Un=(e-1)f(1/n) mais il faudrait chercher la limite en +inifini de (1/x)/(e(1/x)-1) et quel soit de 1 pour que la suite converge vers e-1 ?

par **Sa Majesté** » 07 Fév 2010, 21:18

Vers quoi converge 1/n ?
Vers quoi converge f(1/n) ?
Vers quoi converge (e-1) f(1/n) ?

par **yrty** » 07 Fév 2010, 21:22

1/n converge vers 0 mais f(1/n) vers 0? nan? :S

par **Sa Majesté** » 07 Fév 2010, 21:25

yrty a écrit:1/n converge vers 0

Oui

yrty a écrit:mais f(1/n) vers 0? nan? :S

Non
Réfléchis

par **yrty** » 07 Fév 2010, 21:34

Jai un doute mais jpense que f(1/n) converge vers 1 maisjme suis tromper en calculant la limite de f(x) quand celle ci tend vers 0, et la jbloque a chercher la limite car a chaque foix cela me fait une forme indetermine ^^

par **Sa Majesté** » 07 Fév 2010, 21:40

donc la limite en 0 peut être vue comme le nombre dérivé d'une certaine fonction en 0

par **yrty** » 07 Fév 2010, 21:41

Mais jai pas (e(x) -1)/x mais x/(e(x)-1)?

par **Sa Majesté** » 07 Fév 2010, 21:42

Il suffira de prendre l'inverse à la fin

par **yrty** » 07 Fév 2010, 21:45

Merci beaucoup à toi pour ton aide précieuse, jvien de comprendre , je vais me coucher moin con se soir ^^, bonne soirée.. et bonne nuit.

par **Sa Majesté** » 07 Fév 2010, 22:04

yrty a écrit:Merci beaucoup à toi pour ton aide précieuse, jvien de comprendre , je vais me coucher moin con se soir ^^, bonne soirée.. et bonne nuit.

Bonne continuation ! :zen:

Bloque sur un exercice d'exponentielle avec suite

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