Bloqué dans le calcul d'une limite.

[Boujdoud]

Bonsoir, donc voilà, cela fait 2 jours que je suis bloqué pour résoudre cette limite.

J'ai essayé de remplacer Sin x par Racine de 1-Cos²x mais toujours pas de piste.
Si vous pouviez me donner quelques indices pour y arriver?

[Pisigma]

Bonjour,

si tu connais la règle de l'Hospital c'est pratiquement immédiat; tu devrais trouver 0

[Black Jack]

Bonjour,

Et si tu ne connais pas Lhospital ... mais connais les DL :

DL de sin(x) : sin(x) = x - x³/6 + 0(x^5)

x - sin(x) = x³/6 + 0(x^5)

lim(x--> 0) ((x-sin(x))/x²) = lim(x-->0) x/6 = ...

[Boujdoud]

Alors, pour L'Hopital, ça n' pas été accepté par le prof car on ne l'a jamais fait en cours et pour le développement limité non plus.
Je suis vraiment coincé.

[mathelot]

Bonsoir,
soit et t réel:





















Pour x <0, -x est strictement positif, donc:


en multipliant par -1

[Black Jack]

Bonjour,

Supposons x > 0 et posons g(x) = x - sin(x) + x³

g'(x) = 1 - cos(x) + 3x² forcément > 0 --> g est croissante
g(0) = 0 ---> x - sin(x) + x³ > 0 (pour x > 0)
En divisant par x² > 0, il vient :
(x - sin(x))/x² + x > 0
-x <= (x - sin(x))/x² (1)

h(x) = x - sin(x) - x³
h'(x) = 1 - cos(x) - 3x²
h''(x) = sin(x) - 6x
h'''(x) = cos(x)-6 < 0 --> h'' est décroissante
h''(0) = 0 --> h''(x) < 0 et h' est décroissante
h'(0) = 0 --> h'(x) < 0 et h est décroissante.
h(0) = 0 et donc h(x) < 0
x - sin(x) - x³ < 0
x-sin(x) < x³
et en divisant par x² > 0 les 2 membres -->
(x-sin(x))/x² < x (2)

(1) et (2) donnent :

Pour x > 0, on a -x <= (x - sin(x))/x² < x

Et donc si x--> 0+, on a 0 <= lim(x-->0+) (x - sin(x))/x² < 0

Et donc lim(x-->0+) (x - sin(x))/x² = 0
--------
On procède de manière analogue avec x < 0

...

Non vérifié

[Boujdoud]

Bonjour,

Supposons x > 0 et posons g(x) = x - sin(x) + x³

g'(x) = 1 - cos(x) + 3x² forcément > 0 --> g est croissante
g(0) = 0 ---> x - sin(x) + x³ > 0 (pour x > 0)
En divisant par x² > 0, il vient :
(x - sin(x))/x² + x > 0
-x <= (x - sin(x))/x² (1)

h(x) = x - sin(x) - x³
h'(x) = 1 - cos(x) - 3x²
h''(x) = sin(x) - 6x
h'''(x) = cos(x)-6 < 0 --> h'' est décroissante
h''(0) = 0 --> h''(x) < 0 et h' est décroissante
h'(0) = 0 --> h'(x) < 0 et h est décroissante.
h(0) = 0 et donc h(x) < 0
x - sin(x) - x³ < 0
x-sin(x) < x³
et en divisant par x² > 0 les 2 membres -->
(x-sin(x))/x² < x (2)

(1) et (2) donnent :

Pour x > 0, on a -x <= (x - sin(x))/x² < x

Et donc si x--> 0+, on a 0 <= lim(x-->0+) (x - sin(x))/x² < 0

Et donc lim(x-->0+) (x - sin(x))/x² = 0
--------
On procède de manière analogue avec x < 0

...

Non vérifié

Merci beaucoup pour votre aide, ça m'a bien aidé, je comprends maintenant. Et just une question. Comment avez-vous fait pour déterminer g(x) et h(x)?
Merci d'avance.