Binôme de Newton

[souris bleue]

Bonsoir, je voudrais bien de l'aide pour l'exercice suivant car, je suis un peu perdue. :cry: Merci beaucoup. :help:

On a f(x) = (1+x)^n définie pour x > -1

- il faut développer f avec l'aide du binôme de Newton
j'ai trouvé un résultat et, je voudrais savoir si c'est juste:

somme de p=0 à n de (n p)1^pn^(n-p)= 1^n+(n 1)1^(n-1)x + (n 2)1^(n-2)x²+.......+(n n-1)1x^(n-1)+x^n


- il faut exprimer les dérivées f' et f'' de f sous deux formes différentes

- démontrer que pour tout entier naturel n on a

;) de p=0 à n de (n p)= 2^n

;) de p=0 à n de p(n p)= n*2^(n-1)

;) de p=0 à n de p(p-1)(n p)=n(n-1)2^(n-2)

;) de p=0 à n de p²(n p)=n(n+1)2^(n-2)

- il faut vérifier ces formules pour n=5 à l'aide du triangle de Pascal

[Quidam]

somme de p=0 à n de (n p)1^pn^(n-p)= 1^n+(n 1)1^(n-1)x + (n 2)1^(n-2)x²+.......+(n n-1)1x^(n-1)+x^n

C'est juste, mais il faut connaître la formule pour pouvoir la decrypter ! Ca manque un peu de de parenthèses :
somme de p=0 à n de (n p)(1^p)n^(n-p)= 1^n+(n 1)1^(n-1)x + (n 2)1^(n-2)x²+.......+(n n-1)1x^(n-1)+x^n
et ça se simplifie pas mal aussi :
somme de p=0 à n de (n p)(1^p)n^(n-p)= 1+(n 1)x + (n 2)x²+.......+(n n-1)x^(n-1)+x^n
Mais c'est correct !
Avec LaTex, ça donnerait :

- il faut exprimer les dérivées f' et f'' de f sous deux formes différentes

Donc

Donc

puisque la dérivée de est nulle.
Je pense que le professeur ne souhaite pas que tu ailles plus loin (d'après la suite du problème). Mais on peut continuer à simplifier...






ce qui n'étonnera personne !

Je te laisse faire f ''(x) !

- démontrer que pour tout entier naturel n on a

de p=0 à n de (n p)= 2^n

de p=0 à n de p(n p)= n*2^(n-1)

de p=0 à n de p(p-1)(n p)=n(n-1)2^(n-2)

de p=0 à n de p²(n p)=n(n+1)2^(n-2)

Que se passe-t-il si dans les relations ci-dessus on choisit x=1 ?

[souris bleue]

Désolé, je peux te sembler un peu bête mais, je ne comprends pas ce que tu as voulus dire par cette phrase: :hein:

Que se passe-t-il si dans les relations ci-dessus on choisit x=1 ?

Sinon, je suis désolé de ne pas avoir utilisée LaTex pour noté les formules mais, je viens tout juste de découvrir ce logiciel et, malheuresement, je n'arrive pas encore à l'utiliser. :soupir2:

[Quidam]

Désolé, je peux te sembler un peu bête mais, je ne comprends pas ce que tu as voulus dire par cette phrase

Ben, par exemple, prends la relation :

Si tu choisis x=1, ça donne :

Et comme quel que soit k, et que 1+1, ça fait 2 :

Et que te demandait-on de démontrer en premier :

de p=0 à n de (n p)= 2^n

C'est à dire :

Très exactement la relation que tu viens d'établir !

[souris bleue]

Je n'arrive pas à faire ceci:

- démontrer que pour tout entier naturel n on a

de p=0 à n de p(n p)= n*2^(n-1)

de p=0 à n de p(p-1)(n p)=n(n-1)2^(n-2)

de p=0 à n de p²(n p)=n(n+1)2^(n-2)


J'ai bien trouvé la même chose que vous pour la dérivée mais, je ne parviens pas à faire de p=0 à n de p(n p)= n*2^(n-1)

Pour la dérivée seconde, je trouve
de p=0 à n-2 de (n p)(n-p)(n-p-1)x^(n-p-2)
est-ce juste?

Pouvez-vous si possible m'expliquer aussi les suivantes car, j'ai essayé de les faire mais, je suis bloquée. :marteau:

MERCI

[Quidam]

je suis bloquée.

Un petit effort : c'est pareil ! Il faut remplacer x par 1 !

[souris bleue]

C'est bon, j'ai réussi à les faire, mais, c'est la question 4 qui m'embête, surtout pour les 3 dernières.
Est-ce normal, que je trouve que l'on ne peut pas vérifier pour le premier lorsque n=5?

:dodo:

[Quidam]

C'est bon, j'ai réussi à les faire, mais, c'est la question 4 qui m'embête, surtout pour les 3 dernières.
Est-ce normal, que je trouve que l'on ne peut pas vérifier pour le premier lorsque n=5?

:dodo:

Là c'est moi qui ne comprends pas !
"j'ai réussi à les faire, mais, c'est la question 4 qui m'embête, surtout pour les 3 dernières"

à les faire ? Quoi donc ?
La question 4, les trois dernières ?

Tes questions ne sont pas numérotées !

Dis clairement ce que tu ne sais pas faire et ce que tu as su faire !

[souris bleue]

à les faire ? Quoi donc ?

C'est à dire les démonstrations du 3ème tiret (ou la 3ème question que j'avais demandée)c'est à dire:
- démontrer que pour tout entier naturel n on a

de p=0 à n de (n p)= 2^n

de p=0 à n de p(n p)= n*2^(n-1)

de p=0 à n de p(p-1)(n p)=n(n-1)2^(n-2)

de p=0 à n de p²(n p)=n(n+1)2^(n-2)

La question 4

C'est à dire la question posée au 4ème tiret c'est à dire:

- il faut vérifier ces formules pour n=5 à l'aide du triangle de Pascal

les trois dernières ?

C'est à dire
de p=0 à n de p(n p)= n*2^(n-1)

de p=0 à n de p(p-1)(n p)=n(n-1)2^(n-2)

de p=0 à n de p²(n p)=n(n+1)2^(n-2)

Tes questions ne sont pas numérotées !

Pour moi, elles étaient quand même un peu numérotées, j'avais mis différents tirets. Je pensais que cela suffisait pour que l'on comprenne que quatrième question = quatrième tiret.

[Quidam]

C'est pareil, te dis-je !
On a démontré que :

Mais on sait aussi que :

Par conséquent :

Si tu choisis x=1 dans la formule ci-dessus, tu trouves :

soit :

Et je te rappelle que
Par conséquent en définissant m=n-p ou peut écrire de la même manière :




Pour la dérivée seconde, c'est encore pareil !
En dérivant les deux membres de l'égalité :

on obtient :

(le terme correspondant à p=n-1 disparaît car c'est une constante :
Et en donnant à x la valeur 1 :


Les produits étant nuls pour p=n et p=n-1, on peut bien ajouter les deux termes correspondants :

Et tu peux encore faire le changement de variable m=n-p pour avoir une autre formule...

Pour ce qui est de la vérification sur le triangle de pascal :


On constate bien que :

[souris bleue]

:king2: Merci beaucoup pour votre précieuse aide :technicol et encore désolé :euh: pour le dérangement. :soupir2:

:happy: En plus, je ne comprends pas pourquoi, je n'arrivais pas à le faire au début car, finalement, il me semble assez simple, surtout la dernière "question" ou, je cherchais un "truc" compliqué alors que, c'était tout bête :ptdr:

[Quidam]

En plus, je ne comprends pas pourquoi, je n'arrivais pas à le faire au début car, finalement, il me semble assez simple, surtout la dernière "question" ou, je cherchais un "truc" compliqué alors que, c'était tout bête :ptdr:

Tout bête, c'est le mot !
L'important c'est que tu ais finalement compris :++: