Bijections

par **Neeb** » 27 Aoû 2006, 21:04

Rebonjour, j'ai un deuxième petit problème. En fait j'arrive à y répondre mais pas de façon "esthétique" aussi je vous sollicite de nouveau !

Soit E un ensemble contenant un nombre fini d'éléments. Montrer que si une application de E dans E est surjective, elle est aussi bijective.

Merci encore !

par **super_teufel** » 27 Aoû 2006, 21:27

quelque chose de bijective est à la fois surjective et injective

par **nekros** » 27 Aoû 2006, 21:33

Je suppose que E est de dimension finie ?

A+

par **super_teufel** » 27 Aoû 2006, 21:52

Neeb a écrit:
Soit E un ensemble contenant un nombre fini d'éléments.

Je croit que oui

par **Daragon geoffrey** » 27 Aoû 2006, 21:58

slt
sauf erreur, on peut procéder par labsurde, on suppose que f n'est pas bijective or f est déjà supposée surjective, par hyp, f n'est donc pas injective équiv à il nexiste aucun élément de E qui admet o plus un antécadant par lapplication f, contradictoire avec la surjectivité supposée de f qui par définition implique que tous les éléments de E admettent o moins un antécédant par f ! on en déduit si f est surjective, alors f est bijective ! @ +

par **nekros** » 27 Aoû 2006, 22:03

super_teufel a écrit:Je croit que oui

Même pas vu :stupid_in

a+

par **nada-top** » 27 Aoû 2006, 23:09

super_teufel a écrit:quelque chose de bijective est à la fois surjective et injective

oui c juste mais j'aimerais bien savoir comment ça répond à la question ...
au cas général la surjectivité n'implique pas la bijectivité !!

par **super_teufel** » 28 Aoû 2006, 01:08

c'est quoi une application de e dans e

Je viens justement d'apprendre ca les bijectives mais je sais pas c'est quoi une application de e dans e ? Aurait-tu un synonyme ?

par **nekros** » 28 Aoû 2006, 01:22

super_teufel a écrit:c'est quoi une application de e dans e

Je viens justement d'apprendre ca les bijectives mais je sais pas c'est quoi une application de e dans e ? Aurait-tu un synonyme ?

Oui : un endomorphisme de E, c'est-à-dire une application de E dans lui-même.
Je doute que cela soit plus parlant...

A+

par **Neeb** » 28 Aoû 2006, 09:42

Bonjour, merci pour vos réponses.

J'avais présenté les choses comme suit mais je ne sais pas si cela est exact :

Je procède aussi par l'absurde et suppose f non bijective. Etant surjective, elle est par hypothèse non injective.
E est fini, on peut donc dire qu'il possède n élèments.
f étant une application, chacun de ces éléments possède une unique image par f.
f étant surjective, chaque élément possède au moins un antécédent.
On se donne a>1, f n'est pas injective, il existe donc un élément de E qui possède a antécèdents par f.
Comme E possède n éléments, il ne reste alors plus que n-1 éléments de E pouvant avoir comme antécédents n-a élèment de E. et comme n-1D'où f injective et donc bijective.

Qu'en pensez vous ?

par **Mikou** » 28 Aoû 2006, 10:50

Neeb c'est bon :lol4:

par **nada-top** » 28 Aoû 2006, 23:19

[FONT=Palatino Linotype]Salut[/FONT] :lol3:

Nekros a écrit:Oui : un endomorphisme de E, c'est-à-dire une application de E dans lui-même.

peut on pas dire que c'est un automorphisme , puisque c'est un endomorphisme bijectif ??

par **nekros** » 28 Aoû 2006, 23:27

nada-top a écrit:[FONT=Palatino Linotype]Salut[/FONT] :lol3:

peut on pas dire que c'est un automorphisme , puisque c'est un endomorphisme bijectif ??

Si l'endomorphisme est bijectif, alors c'est un automorphisme.

Automorphisme = isomorphisme + endomorphisme

A+

par **nada-top** » 28 Aoû 2006, 23:40

ah oui d'accord Merci :lol3:

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