Bessoin qu'on explique la fonction dérivé

[clarisso]

slt j'aurai besoin qu'on m'explique les nombre dérivé et fonction dérivéet sens de variation d'une fonction merci bcp

[le_fabien]

Bonjour,
question vaste.
Pour le nombre dérivée considérer un point d'une courbe dérivable, puis tracer la tangente en ce point alors le nombre dérivée est le coefficient directeur de la tangente en ce point.
La fonction dérivée est une fonction qui donne en fonction de l'abscisse le coefficient directeur des tangentes à la courbe.
Le sens de variation est donné par le signe de ces coefficients directeurs, si il est positif alors la courbe est croissante sinon elle est décroissante.
Voilà en " gros " mais il ne faut pas oublier qu'il y a des conditions de dérivabilité. :zen:

[Florélianne]

Bonjour,
Une fonction f est

• croissante : a f(a) f(a) > f(b)

pour le deuxième membre, il est plus simple de chercher le signe de f(b)-f(a) qui est :

• positif si f(a) f(b)

mais comme b - a est

• positif si a b

Pour savoir connaitre le sens de variation de f, il suffit de chercher le signe de
t =[fb)-f(a)]/(b-a)

appelé taux d'accroissement , en raison de la règle des signe d'un quotient (la même que celle d'un produit) on sait que :
[list]
[*]f croissante t > 0
[*]f décroissante t a) t
c'est à dire : lim (x--> a) [ (f(x)-f(a)]/(x-a)
ce qui va nous donner une valeur exprimée en fonction de a...
cette limite s'appelle la dérivée de f en a

seulement, ce que nous voulons c'est savoir le signe de t sur tout l'ensemble de définition ! pas seulement autour de a ! c'est pour cela qu'on a remplacé a
xo = a on obtient :
lim (x--> xo) [(f(x)-f(xo)]/(x-xo)
obtenu en fonction de xo
maintenant on peut faire varier xo sur la totalité de l'ensemble de définition, pour trouver le signe du taux d'accroissement partout !
si xo varie sur l'ensemble de définition, on obtient une nouvelle fonction , la fonction dérivée de f
lim (x--> xo) [(f(x)-f(xo)]/(x-xo) = f '(x)

Maintenant il suffit de chercher le signe de f ' sur l'ensemble de défition pour trouver toutes les évolutions de f (ou variations) mais surtout les bornes de ses variations

Quand une fonction est croissante jusque pour x= a et décroissante apprès, c'est que f(x) ne pourra pas dépasser la valeur de f(a) qui est son maximum à cet endroit
de même : quand une fonction est décroissante jusque pour x= a et croissante apprès, c'est que f(x) ne pourra pas dépasser la valeur de f(a) qui est son mimimum à cet endroit
Pour utiliser un même mot, on parle d"extrêmum
en ces endroits la fonction dérivée s'annule (elle va changer de signe !)

Pour la tangente
mainant revenons à t=[fb)-f(a)]/(b-a)
exprimons le pour a : t = [ (f(x)-f(a)]/(x-a)
utilisons le produit en croix:
t(x-a) = f(x) - f(a)
si nous notons y = f(x) , notation courante , nous obtenons :
t(x-a) = y - f(a) y = t(x-a) + f(a)
ou y = tx -ta+f(a)
si t était un nombre on aurait l'équation d'une droite...
t varie maleureusement en foncrion de x , mais plus sa limitie quand x tend vers a
c'est à dire qu'en s'approchant de a la courbe de f se rapproche de plus en plus d'une droite dont le coéfficient directeur est :
f '(a) !
cette droite est la tangente à la courbe en a
Ta : y = f '(a) (x-a) + f(a)
elle nous donne une approximation de la courbe au tour de a (sur un très petit intervalle) on dit au voisinage de a

Pour un extremum, f '(a) = 0 donc la tangente a pour équation :
y= f(a)
la tangente est horizontale !

En espérant avoir apporté, ne serait-ce qu'une faible lueur, un peu de lumière sur une partie capitale...
Courage , très cordialement

[oscar]

Voici une image

http://img124.imageshack.us/my.php?image=deriveeez3.gif