Besoin d'un theoreme pour démontrer que 2 droites sont perpendiculaires

[roudoudou]

bonsoir tout le monde
dans un dm de maths, je suis arrivée à une question que je n'arrive pas à résoudre:

"Soit P et Q les points de coordonnées (a;b) et (b;a).
Montrer que P et Q sont symétriques par rapport à la droite D:y=x"

bon je pense qu'il faut démontrer que la droite (PQ) est perpendiculaire à la droite D, mais je ne sais pas du tout quelle méthode utiliser!
pouriez -vous donc me donnez un théoreme pour le démontrer?

[Elsa_toup]

Est-ce que vous avez vu les équations de droite ?
Si oui, tu détermines l'équation de (PQ), c'est possible vu qu'on a les coordonnées de 2 points.
Et un "théorème" (en fait c'est une définition presque) te dit que 2 droites sont perpendiculaires si le produit de leurs coeff directeurs est -1.

Voilà, je te laisse faire ...

[Elsa_toup]

Ah oui et ensuite pour montrer la symétrie, tu dois prouver qu'ils sont à égale distance de la droite y=x.
Tu appelles I le point d'intersection, tu calcules ses coordonnées, et tu dois trouver que c'est le milieu de [PQ].

Crie si je vais trop vite ...

[roudoudou]

euh... le coefficient directeur est égal à 1 ou -1?

[Elsa_toup]

Pas le coeff directeur, le produit de leurs coeff directeurs...

Dis-moi ce que tu trouves comme équation pour (PQ)

[roudoudou]

Je trouve (PQ):y=-x+p avec p inconnu

[roudoudou]

enfin.. p je pense qu'on en a pas besoin

[Elsa_toup]

Non, tu ne dois pas avoir d'inconnues...
Tu as 2 points donc tu peux déterminer EXACTEMENT l'équation de la droite.
Montre-moi comment tu fais.

[roudoudou]

alors d'abord, on a D:y=x
et pour (PQ), le coeff directeur c'est m=(Yq-Yp)/(Xq-Xp)
soit m=(a-b)/(b-a)=-1
d'où (PQ):y=-x

[Elsa_toup]

Non, ton coeff directeur est exact, c'est bien (-1), mais tu vas avoir besoin de l'équation complète pour la suite.
Alors tu as 2 points sur cette droite : P et Q.
Je note y = px+q l'équation de (PQ).

P(a,b) € (PQ), donc : b=pa+q
Q(b,a) € (PQ), donc : a=pb+q

(si un point est sur une droite alors ses coordonnées vérifient l'équation de cette droite)

Donc la 1ère ligne donne : q = b - pa (*)
et donc la 2ème ligne : a = pb + b - pa
donc: a-b = pb-pa
donc: a-b = p(b-a)
soit : p=-1

et en remplaçant dans (*), tu obtiens : q = b-(-a) = a+b

Donc (PQ) d'équation : y = -x + (a+b), ce qui est logique vu que (a+b) est l'ordonnée à l'origine (fais un schéma, tu verras que ca concorde).

A toi pour la suite !

[roudoudou]

ooh merci enormement! j'ai enfin compris!