Besoin d'aide à propose d'une fonction bijective

[BenRak]

Bonjour,

J'aurais une question pour cette fonction est bijective :

R --> R
x --> 2x

Si je prends x = 0 ça donne : 2 x 0= 0. Donc sur ma droite j'aurais les points : (0;0), mais une droite de pente non-nulle est toujours une bijection de R dans R. Ma là ma droite a une pente nulle donc elle devrait être non-bijective, mais mon professeur ma dit qu'elle l'était. Pouvez-vous m'éclaircir svp?

Cordialement

[Krypton]

Bonsoir :)

Alors, tu as bien compris la différence entre des fonctions bijectives ou non, mais manifestement tu as un peu de mal à différencier des points de leurs coordonnées ...
c'est-à-dire, pour tracer une pente, tu as besoin de 2 points.
Mais ici, le couple (0,0) ne représente qu'un point: le point tel que l'abscisse est 0 et l'ordonnée est 0 (ou plus clairement, c'est l'origine dans ce cas).
Maintenant, il te faut un 2eme point, et tu peux donc choisir n'importe quelle autre valeur que 0 pour x, tu en déduis alors y et tu auras donc un deuxième point de coordonnées (x,y).
Et en traçant sur un graphe, tu verras que la pente n'est pas nulle ...

[BenRak]

Merci de ta réponse. Une droite bijective est une droite qui, doit être une application (chaque objet (axe "x") doit avoir une image (axe "y")?) et chaque point sur l'axe des ordonnés("y") à un seul et unique point? Mais moi ma droite est comme ça :


Donc une pente nulle?! Pourquoi est-ce une bijective? Mais c'est bien une application et chaque point sur l'axe des ordonnés ("y") a un seul et unique point? Si je prends le point 0 (axe y) a t-il un point? Le point (0;0) ? Ce graphe est bien de fonction linéaire?
Ou tout simplement :
Une fonction linéaire est bijective
Une fonction affine est bijective
Un fonction du deuxième degré n'est pas bijective.
Est-ce juste? Ou une fonction affine n'est pas bijective?

[bombastus]

Bonsoir,

comme te le disait Krypton, tu confonds toujours point et coordonnées...

Tu as une droite qui est formée par des points et chaque point possède 2 coordonnées.

Une bijection est une application si et seulement si tout élément de son ensemble d'arrivée a un et un seul antécédent. Graphiquement, cela veut dire que pour chaque point de ta courbe, son ordonnée est l'image d'une seule abscisse.

Des exemples :
Observons une première courbe :

Le point A a pour ordonnée 4, or il existe un autre point qui a pour ordonnée 4 : le point B. Donc cette fonction n'est pas bijective.

Maintenant prenons une droite :


Ici le point A a pour ordonnée -1 et aucun autre point de la droite n'a la même ordonnée. pareil pour le point B, c'est le seul à avoir 3 pour ordonnée. C'est vrai pour tout les points de la courbe donc cette application est bijective.

Maintenant, pourquoi dis-tu que ta droite a une pente nulle?!!?
As-tu compris ce qu'est la pente d'une droite et comment on la calcule?

[BenRak]

Ah j'ai confondu! Un pente nulle = 0? Comment les droites constantes? Donc si ma droites est linéaire elle est bijective? Donc ma droite d'en haut est bien bijective?

Merci beaucoup!

[bombastus]

Fais attention à ton vocabulaire, j'ai l'impression que cela te crée beaucoup de confusions...

Ah j'ai confondu! Un pente nulle = 0?

Oui

Comment les droites constantes?

On ne dit pas une "droite constante"...
Une droite de pente nulle est parallèle à l'axe des abscisses.

Donc si ma droites est linéaire

Ca veut dire quoi, ça? toutes les droites ont des équations linéaires mais ça ne nous avance pas beaucoup...

As-tu compris (lu?) ce que j'ai écrit?
Tu l'as écrit toi-même :
"une droite de pente non-nulle est toujours une bijection de R dans R"
La pente de ta droite est-elle nulle? tu peux calculer la valeur de cette pente.

[BenRak]

La pente de ta droite est-elle nulle? tu peux calculer la valeur de cette pente.

Oui tu as raison. Donc ma droite en haut est bien bijective?! Ce qui me perturbais c'est que passe par le point de cordonnée (0;0).

Cordialement

[bombastus]

Relis bien ton cours de math sur les fonctions affines, en essayant de comprendre.

Petit résumé : (mais je te conseille de lire ton propre cours)

Soit la fonction f (x) = ax + b qui est affine (sa représentation dans le plan est une droite)
Si b = 0 alors f(x) = ax s’appelle une fonction linéaire.
Si a = 0 alors f(x) = b est la fonction constante.

(donc si j'ai bien compris dans tes posts précédents tu confondais droite et fonction...). Parmi ces trois formes (f (x) = ax + b, f(x) = ax,f(x) = b), l'équation de ta droite est de quelle forme?

Donc ma droite en haut est bien bijective?!

Tu as tous les outils en main, à toi de conclure...
Dans l'équation f(x)=ax+b, quel élément correspond à la pente?

[BenRak]

Tu as tous les outils en main, à toi de conclure...
Dans l'équation f(x)=ax+b, quel élément correspond à la pente?

L'élément "a" correspond à ma pente
Ma pente vaut donc : 2?!
F(x)=ax!

Elle est bien bijective alors. Vu que ma pente n'est pas nulle, elle est de 2.
C'est juste?

[bombastus]

Exact!
Comme quoi appliquer "bêtement" le cours, ça simplifie parfois la vie!

[BenRak]

Merci mille fois!

Mais une autre petite question, un fonction constante f(x)=b? Mais l'ordonnée c'est f(0)=a ou f(0)=b? Je ne comprends pas comment trouver l'ordonnée d'une fonction constante vu qu'il n'y a pas de "x" comment trouver l'image de 0?

Cordialement

[bombastus]

f(x)=b est donc une fonction constante, c'est à dire que quelque soit la valeur de x on a : f(x)=b (par quelle magie voudrais-tu que le b se transforme en a???) donc f(0) = b.

La représentation graphique d'une telle fonction est une droite parallèle à l'axe des abscisses.

Mais il faut que tu comprennes que b ne représente qu'une constante.
Exemple f(x) = 1 est une fonction constante :

Le point A a pour coordonnée (0,1) (abscisse 0, ordonnée 1)
Le point B a pour coordonnée (2,1)
.....

[BenRak]

Ok merci beaucoup. Ce que je suis bête je viens de comprendre. Encore merci mille fois!!!!