Besoin d'aide pour DM

[k-stagne]

Bonjour à tous, je suis tout nouveau sur le forum. Donc comme dit dans le titre, j'aurais besoin d'aide pour faire mon DM de maths, j'ai quasiment tout réussi sauf 3 questions.

Exercice 1 :

1. On donne : P(z)=z^4-6z^3+14z²-24z+40
a) Démontrer que l'équation P(z)=0 admet deux solutions imaginaires pures que l'on déterminera.

-> Je n'ai absolument aucune idée quant à la manière de procéder pour trouver ces deux solutions imaginaires pures... Trouver un polynôme de 2nd degré et trouver son discriminant ?

Exercice 2 :

Equation (E) : z^4-5z^3+6z²-5z+1=0

2. Montrer que cette équation est équivalente au système :
u²-5u+4=0
u=z+1/2

-> Là je pensais qu'il suffisait de remplacer dans la première équation u par la deuxième équation, c'est à dire de faire (z+1/2)²-5(z+1/2)+4 mais je ne retombe pas sur l'équation (E)...

4. Résoudre dans C les équations z+1/z=u1 et z+1/z=u2.
En déduire les solutions dans C de l'équation (E).

-> Sachant que j'ai trouvé u1=1 et u2=4 grâce à une autre question, j'ai essayé d'isoler z mais je n'y arrive pas...

J'ai : z+1/z=u1
z²/z+1/z=1
(z²+1)/z=1

Et après je ne sais pas quoi faire avec ça...


Voilà, j'ai quelques lacunes en maths et des difficultés pour mon DM, donc si vous pouviez m'aider un peu...

Merci d'avance.

[Sa Majesté]

Salut

Exercice 1 : un imaginaire pur s'écrit ib

[k-stagne]

Oui je sais déjà qu'un imaginaire pur s'écrit ib, mais je ne sais absolument pas comment parvenir aux solutions...

[Ericovitchi]

ben tu remplaces z par ib, tu trouves une équation en b. (de degré 4 c'est vrai). tu repères des solutions évidentes (essayes 2 et -2).

[k-stagne]

Je trouve b^4+6ib^3-14b²-24ib+40 mais les solutions ne sont pas si évidentes que ça si ?...

Et pour les deux autres questions, vous avez des conseils ?

[Sa Majesté]

b^4+6ib^3-14b²-24ib+40 = 0
Il suffit de séparer partie réelle et partie imaginaire

[k-stagne]

Merci à vous pour votre aide, en planchant dessus avec un ami pendant 1h on est arrivé à faire tout ce qu'il me manquait, en fait ce n'était pas si compliqué ! Merci.