Besoin d’aide pour un DM de demonstration par récurrence

[MathAdoreLesMaths]

Bonsoir membres du forum, j’ai passé toute la journée à faire ce DM et même avec l’aide des vidéos de Yvan Monka, ma leçon et l’aide mon père je ne parviens pas à répondre aux questions 1 et 3 de mon exercice. Pourriez vous me donner un coup de main?


Sujet :

Une plateforme informatique propose deux types de jeux vidéo : un jeu de type A et un jeu de type B.

On admet que, dès que le joueur achève une partie la plateforme lui propose une nouvelle partie selon le modèle suivant :
- Si le joueur achève une partie de type A, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type A avec une probabilité de 0,8 ;
- Si le joueur achève une partie de type B, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type B avec une probabilité de 0,7.

Pour un entier naturel n supérieur ou égal à 1, on note An et Bn les événements :
An: « la n-ième partie est une partie de type A. »
Bn: « la n-ieme partie est une partie de type B. »
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on note an la probabilité de l’évènement An.
On suppose que la probabilité que le joueur joue au jeu A lors de la première partie est égale à 0,3.

1. Calculer a3
2.
a) Recopier et compléter l’arbre pondéré ci contre (c’est fait et vérifié)
b) Montrer que pour tout entier naturel n => 1, on a :
an+1=0,5an + 0,3
( c’est fait et vérifié)

3. Montrer par récurrence que pour tout n=> 1, an = -0,3*0,5^(n-1)+0,6

Merci d’avance.