Besoin d'aide comparaison de nombres

[matteu]

bjrs a tous, a,b,c,d designent des réels strictement positifs tel que (a/b)<(c/d).

On se propose de démontrer que le quotien (a+c)/(b+d) est compris entre a/b et c/d. parce que je me :mur:

[Chimerade]

bjrs a tous, a,b,c,d designent des réels strictement positifs tel que (a/b)<(c/d).

On se propose de démontrer que le quotien ((a+c)/(b+d))-(a/b) est compris entre a/b et c/d. parce que je me :mur:

Ce n'est pas un quotient, c'est une différence !

Moi je parie que c'est le quotient (a+c)/(b+d) qui est compris entre (a/b) et (c/d) !

Mais bon, c'est toi qui vois...

[matteu]

vous voulez pas m'aider? je suis perdu...

[matteu]

Ce n'est pas un quotient, c'est une différence !

Moi je parie que c'est le quotient (a+c)/(b+d) qui est compris entre (a/b) et (c/d) !

Mais bon, c'est toi qui vois...

oui exact je me suis trompé...

[Chimerade]

oui exact je me suis trompé...

Alors, pourquoi ne calculerais-tu pas (a+c)/(b+d)-(a/b), d'une part, et (a+c)/(b+d)-(c/d), d'autre part pour les comparer ?

[matteu]

ca je l'ai fait mais c'est justre apres vu qu'un est sur le dénominateur b+d et l'autre b je sais pas comment faire

[Chimerade]

ca je l'ai fait mais c'est justre apres vu qu'un est sur le dénominateur b+d et l'autre b je sais pas comment faire

Ben ! T'as entendu parler de la réduction au même dénominateur ?
En quelle classe es-tu ?

[matteu]

je suis en seconde mais je sais pas comment faire en presence d'addition et surtout de lettre c'est vrai que j'ai pas l'habitude de passé des chiffres au lettres comme ca...

[Chimerade]

ca je l'ai fait mais c'est justre apres vu qu'un est sur le dénominateur b+d et l'autre b je sais pas comment faire

Pour réduire au même dénominateur une somme de fractions lorsqu'il s'agit de nombres décimaux, on doit chercher le PPCM des dénominateurs. Mais on a toujours la possibilité tout simplement de multiplier tous les dénominateurs entre eux. On obtient un dénominateur qui est un multiple commun à tous les dénominateurs, mais qui n'est pas nécessairement le plus petit possible, pas nécessairement le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) ; mais ce n'est pas si grave, ça marche toujours.

Lorsque les dénominateurs ne sont pas des nombres mais des expressions littérales, là aussi, on peut chercher un multiple commun à tous les dénominateurs, là aussi on peut chercher le plus simple possible, mais là aussi on peut se contenter du produit de tous ces dénominateurs, qui n'est pas nécessairement le plus simple possible des multiples des dénominateurs, mais ça marche toujours.

Donc, pour calculer :

on multiplie le dénominateur (et le numérateur) de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction :
et on obtient ainsi un dénominateur qui est le produit des deux anciens dénominateurs.

on multiplie le dénominateur (et le numérateur) de la deuxième fraction par le dénominateur de la première fraction :
et on obtient ainsi un dénominateur qui est le produit des deux anciens dénominateurs.

Oh miracle ! Les deux dénominateurs sont devenus égaux ! Donc on peut alors regrouper les deux fractions ayant ce dénominateur commun, en ajoutant les numérateurs.

Le premier terme est égal à :




Le deuxième terme est égal à :



Par conséquent lorsque l'on fait la soustraction on obtient :


Lorsque l'on fait l'autre soustraction :
On obtient de même :

Alors, bien sûr on ne connait pas les valeurs du dénominateur bi elles du dénominateur , mais on sait qu'ils sont tous deux positifs et cela nous suffit car le signe de la différence est celui de et celui de la différence est celui de

Les deux différences ont donc des signes opposés, ce qui signifie clairement que la quantité est entre et . On n'avait pas besoin de l'information : "(a/b)<(c/d)" que ton professeur, dans sa grandeur d'âme a bien voulu ajouter à tes hypothèses. Cela permet simplement de savoir lequel est le plus petit et lequel est le plus grand, mais ce qui était demandé, à savoir, "prouver que (a+c)/(b+d)) est compris entre a/b et c/d" pouvait être démontré sans cette dernière information.

[matteu]

merci bien