Besoin d'aide DM 1ere S Approximation affine locale

[mathildee74]

On considere l'exercice suivant :

Soit f la fonction définie sur R par : f(x)=(1+x)^3

1/ Déterminer la meilleure approximation affine locale, notée g, de la fonction f pour x proche de 0

2/ L'erreure E(x) commise en remplacant f(x) par g(x) pour x proche de 0 est la valeur absolue de la différence f(x)-g(x).

a.) Déterminer le signe de la différence f(x)-g(x) pour tout réel x proche de 0
b.) L'approximation affine locale de f quand x proche de 0 donne-t-elle une valeur approchée par défaut ou par axcès ?

c.) Démontrer que pour tout x appartenant à [-0.5;0.5], E(x) est plus petit ou égal à 4x²

d.) En déduire une condition suffisante sur x, sous forme d'un encadrement, pour que l'erreur commise en remplaçant f par son approximation affine locale g soit inférieur à 10^-2.

Voici mes réponses :

1) y=f(0)+f'(0)(x-0)=3x+1
g(x)=3x+1

2)a. (1+x)^3-(3x+1) = x^3+3x+3x²+1-(3x+1) = x^3+3x²
Lorsque x tend vers 0, f(x)-g(x)>(=)0
b. Donc g(x)<(=)f(x). La valeur est donc par défaut.
c. x^3+3x²<(=)4x²
x^3<(=)x²
Si x=0 l'inéquation est vérifiée.
si x différent de 0, on peut diviser par x²
x<(=)1
Donc pour tout x de [-0,5;0,5] l'inéquation est vérifiée.

Ces réponses sont-elles justes ?

J'aurai cependant besoin d'un peu d'aide (voir un peu plus ...) pour la question d.) car elle me pose probleme.

Merci.

[mathildee74]

J'ai besoin d'aide pour la question d.) svp !

[fonfon]

Salut, j'ai pas trop verifier les calculs que tu as fait, je pense que c'est surtout une application du cours, pour le signe si tu ne t'es pas trompé dans ton tableau de signe y-a pas de raison donc la suite devrait être bonne aussi

sinon pour la d)

tu viens de montrer que
donc pour que l'erreur commise en remplaçant f par son aprroximation affine locale soit <=10^-2,cad il suffit que:

[mathildee74]

Merci beaucoup !

Vous parlez cependant de tableau de signe, pour, je pense, trouver le signe de la différence f(x) - g(x), et je ne comprends pas bien pourquoi ? Est-il vraiment nécessaire de réaliser un tableau de signe ? Et avec quelles valeurs ? Merci de votre aide.

[fonfon]

Re,

tu as trouver que f(x)-g(x)=x^3+3x²=x²(3+x)

donc pour connaitre le signe de cette difference au voisinage de 0 tu peux faire un tableau de signe.



on voit donc que pour x proche de 0 E(x)>=0 soit f(x)>=g(x). c'est une approximation par defaut