Barycentres - 1èreS

par **lilou942** » 24 Nov 2007, 20:35

BonsOir,

J'ai un DM portant sur les barycentres, mais il y a un exo auquel je bloque.
Pourriez-vous m'aidez?
Il est un peu long, prenez le temps de le lire ^^
Voici l'énoncé:

Soient ABC un triangle non rectangle et A', B' et C' les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB]. On note O le centre du cercle circonscrit au triangle.

1. Soit H le point du plan défini par: "OH"="OA"+"OB"+"OC" [ ".." signifie vecteurs"

a. Montrer que : "OB"+"OC"=2"OA' "
b. En déduire "AH" en fonction de "OA'"
c. Montrer que la droite (AH) est perpendiculaire à la droite (BC).
d. Pourquoi la droite (BH) est-elle perpendiculaire à (AC)? En déduire la nature du point H pour le triangle ABC.

2. On note G le centre de gravité du triangle ABC.

a. Montrer que "OH" = 3"OG"
b. Dans quel cas a-t-on O=G=H ?
c. Le cas précédent expté, montrer que les points O,G et H sont alignés sur une droite, que l 'on appelle la droite d'Euler du triangle.
d. Montrer que le résultat précédent reste valable si le triangle est rectangle.

Je voudrais, pour l'instant de l'aide sur la première partie, car je n'arrive pas à montrer que "OB"+"OC"=2"OA"...

Je vous remercie d'avance.

par **lilou942** » 24 Nov 2007, 20:57

Faudrait-il utiliser la propriété d'associativité?

par **hellow3** » 24 Nov 2007, 21:25

Salut.

1. A' milieu de [BC], donc A' barycentre de {(B,1) (C,1)} soit pour tout point M, 2MA'=MB+MC.

par **Flodelarab** » 24 Nov 2007, 21:25

A vue de nez, je dirais que ce que tu veux démontrer est FAUX.
En effet, Tu prends un cercle, tu places B et C dessus. Tu as donc C, B, O fixes et il peut y avoir plusieurs A qui conviennent. Donc on ne peut pas affirmer que

est fixe ...

par **lilou942** » 24 Nov 2007, 21:30

Merci d'avoir pris le temps de lire,

mais je ne pense pas que ce que l'on veut montrer soit faux , les questions sont dépendentes les unes des autres.. je pense.

Ouii , on prend un point M du plan :++:

Je vais voir ce que ça me donne par la suite.

par **lilou942** » 24 Nov 2007, 21:43

Pour le b. :

Sachant que OH=OA+OB+OC et que 2OA= OB+OC, on a:
OH = OA + 2OA'
OA + AH = OA + 2OA'
AH = 2OA'

Mais pour le c. , comment peut-on démontrer que les droites sont perpendiculaires?

par **hellow3** » 24 Nov 2007, 21:45

Sers-toi de ce que tu viens de montrer.

par **lilou942** » 24 Nov 2007, 21:49

Mais des égalités vectorielles ne peuvent pas nous aider à démontrer que des droites sont perpendiculaires?

par **hellow3** » 24 Nov 2007, 21:52

AH=2OA' les deux vecteurs sont colinéaires.

Si (BC) est perpendiculaire à l'un, elle l'est aussi à l'autre...
OK?

par **lilou942** » 24 Nov 2007, 22:12

Oui je viens de comprendre :
Comme AH=2OA', alors les points A,H, O et A' sont alignés et ont peut dire que AH et OA sont parallèle.
Or OA est perpendiculaire à BC ( car O appartient à la mediatrice..)
Donc OH est perpendiculaire à BC;

Pour la d. je tenderais à dire que H est l'orthocentre ?

par **hellow3** » 24 Nov 2007, 22:17

lilou942 a écrit:Oui je viens de comprendre :
Comme AH=2OA', alors les points A,H, O et A' sont alignés et ont peut dire que AH et OA' sont parallèle.
Or OA' est perpendiculaire à BC ( car O appartient à la mediatrice..)
Donc OH est perpendiculaire à BC;

Pour la d. je tenderais à dire que H est l'orthocentre ?

d. Oui, H est l'orthocentre.

par **lilou942** » 24 Nov 2007, 22:24

Mais pourquoi donc (BH) est perpendiculaire à (AC)?

par **hellow3** » 24 Nov 2007, 22:30

La je sais pas trop. :we:
Par le calcul ça se fait, mais la question a plutôt l'air d'attendre une raison, qu'un calcul.

Alors je dirais pour t'expliquer, qu'on a fait aucune hypothese sur A, B et C de même que sur A', B' et C'.
Tout ce que ce que tu viens de faire (1a. 1b. 1c.), peut être fait de la même manière avec les points B, B' et C, C'.

Le problème est symétrique.

par **hellow3** » 24 Nov 2007, 22:47

Ca va?

Elle est pas trop pourrie ma réponse?

par **lilou942** » 25 Nov 2007, 08:59

Bonjour,
Dsl j'ai dû partir hier soir,
Non, aucune réponse n'est pourrie ^^

Mais j'aurais penché pour dire que :

OH est perpendiculaire à BC car O appartient à une médiatrice, or ici on ne peut dire que BH est une mediatrice mais on peut montrer qu'elle est parallèle à la droite B'O qui elle est perpendiculaire à AC .
Mais comment montrer que deux droites sont parallèles ici?

Merci de votre aide^^

par **lilou942** » 25 Nov 2007, 10:36

En montrant que les vecteurs sont colinéaires?!

par **hellow3** » 25 Nov 2007, 11:23

lilou942 a écrit:Bonjour,
Dsl j'ai dû partir hier soir,
Non, aucune réponse n'est pourrie ^^
OK, merci.
Mais j'aurais penché pour dire que :

OH est perpendiculaire à BC
C'est faux en général, et ici en particulier.

car O appartient à une médiatrice,
mais H n'appartient pas a cette mediatrice.

or ici on ne peut dire que BH est une mediatrice mais on peut montrer qu'elle est parallèle à la droite B'O qui elle est perpendiculaire à AC .
Mais comment montrer que deux droites sont parallèles ici?
Ca oui,
C'est comme ca que tu as fait pour montrer que (AH) perpendiculaire à (BC]

Merci de votre aide^^

De rien.

Si tu veux montrer qu'elles sont paralleles,
il faut:
a. Montrer que : "OA"+"OC"=2"OB' "
b. En déduire "BH" en fonction de "OB'"
c. Montrer que la droite (BH) est perpendiculaire à la droite (AC).

par **lilou942** » 25 Nov 2007, 11:45

Ok merci,
Je vais voir ce que cela me donne.

par **lilou942** » 25 Nov 2007, 12:03

J'ai fait la démonstation, le raisonnement est exactement le même que pour le c.
Donc H est l'orhtocentre.

2.

a. Comment peut-on montrer que OH= 3OG alors qu'on a seulement comme données que G est le centre de gravité, que c'est donc le point de concours des médianes?

par **hellow3** » 25 Nov 2007, 12:05

Si G est centre de gravité, alors G est isobarycentre de A,B et C.

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