Barycentre

par **feegnasse** » 11 Nov 2007, 14:22

Bonjour ,
Je suis en première S et j'ai un Dm à faire mais malgré mon cours et l'aide de camarades je ne comprends absolument pas !
Voici l'exercice :
Soit ABC, une triangle rectangle en A .Construire les trois carrés extérieurs au triangle et ayant un coté commun avc le triangle.
Voici la petite histoire .
Le triangle est un lac et les trois carrés sont les terrains de trois propriétaires qui désirent se partager les eaux du lac.Ils décident pour cela de diviser le lac en trois triangle ABM,ACM et BCM.où M est un point du lac.
Où placer le point M afin que chaque propriétaire ait une partie du lac proportionnelle à la surface de son terrain ?

Question supplémentaire Démontrer que le point M est alors sur la hauteur issue de A .

Je vous remercie d'avance pour vos réponse :happy2:

par **feegnasse** » 11 Nov 2007, 15:01

Je cherche je cherche !!

par **hellow3** » 11 Nov 2007, 16:25

Salut.

J'appelle aire terrain1: A1=BC²
J'appelle aire terrain2: A2=AB²
J'appelle aire terrain3: A3=AC²
J'appelle aire terrain total A=AB²+BC²+AC²=2BC²

Donc:
Surface du lac1: L1=(h1M*BC)/2 ou h1M est la hauteur de M dans le triangle MBC
Surface du lac2: L2=(h2M*AB)/2 ou h2M est la hauteur de M dans le triangle MBA
Surface du lac3: L3=(h3M*AC)/2 ou h3M est la hauteur de M dans le triangle AMC
Surface du lac: L=AB*AC/2 (ABc rectangle)

On veut que la surface du lac soit proportionnelle à l'aire du terrain.
Donc: L/A=L1/A1=L2/A2=L3/A3.

Or L/A=AB*AC/(4BC²)

On en deduit:
L1=h1M*BC/2=(AB*AC/4BC²) *BC² d'ou: h1M=AB*AC/2BC²
L2=h2M*AB/2=(AB*AC/4BC²) *AB² d'ou: h2M=AB²*AC/2BC²
L3=h3M*AC/2=(AB*AC/4BC²) *AC² d'ou: h3M=AB*AC²/2BC²

M est donc à l'intersetion de la droite parallele à BC située à une distance h1M à l'intérieur du triangle, de la parallèle à AB située à une distance h2M à l'interieur du triangle, et de la parallele à AC située à une distance h3M a l'interieur du triangle.

---------------------
Montrons que M appartient à la hauteur de A dans ABC.

Soit le rectangle Ah2Mh3. Il est rectangle car Â est un angle droit, h2M est une hauteur par rapport à AB et h3M hauetur par rapport à AC.
On en deduit en particulier, Ah2=h3M.

D'après pythagore dans Ah2M, Ah2²+h2M²=AM²

Or: Ah2²=h3M²=AB²*AC^4/4BC^4
H2M²=AB^4*AC²/4BC^4
On en deduit: AM²=AB²*AC²*(AC²+AB²)/4BC^4 =AB²*AC²*(BC²)/4BC^4 =AB²*AC²/4BC²
Soit AM=AB*AC/2BC
--
hA:hauteur issue de A dans ABC. Donc L=hA*BC/2
et on a vu: L=AB*AC/2
Donc: hA=AB*AC/BC
--
On a vu precedemment, que h1M=AB*AC/2BC

hA est la distance la plmus courte entre le point A et la droite (BC). Donc pour tout point d de la droite, Ad>=Ah; donc en particulier pour d=h1:
Ah1>=Ah.
De la même manière, Ah1 est la distance la plus courte entre A et h1, donc:
AM+ Mh1>=Ah1.

On en deduit donc:
AM+Mh1>=Ah1>=Ah.
Or AM+Mh1=AB*AC/2BC + AB*AC/2BC= AB*AC/BC =Ah;
Donc A,h1,M et h sont alignés; et comme en particulier Ah est la hauteur issue de A; M appartient à la hauteur issue de A.

PS. CEST TRES LONG ( A MON AVIS TROP).
JE SUIS PAS TRES FRAIS.
JE PENSES DONC QUIL DOIT AVOIR PLUS COURT.
SINON LES CALCULS ONT L'AIR JUSTE....

par **feegnasse** » 11 Nov 2007, 17:56

En tout cas merci beaucoup je revois vu que je n'avias aucune idée cela ne peut que me réconforter!
merki beaucoup !! :ptdr:

par **feegnasse** » 13 Nov 2007, 20:30

Alors voila la formule que je trouve pour placer M

VecteurAM= b*vecteurAB+c²+vecteurAC/(2*cb²)

Aprsè j'ai un pb pour démontrer que AH est bien la hauteur issue de H voilou voilou !!

par **hellow3** » 13 Nov 2007, 20:38

T'es courageux de passer par des vecteurs.

Mais VecteurAM= b*vecteurAB +c² +vecteurAC/(2*cb²) ??
Un vecteur = un nombre?

par **feegnasse** » 13 Nov 2007, 20:53

Non mais vu que M est le barycentre je cherche d'après mon théorème comment placer M or
le vecteur AM=b²*vecteurAB*c²vecteurAC/(2*(bc)²)

par **hellow3** » 13 Nov 2007, 20:58

Oui c'est beaucoup mieux avec des barycentres...

par **feegnasse** » 13 Nov 2007, 21:03

Le truc c'est uqe j'ai pris l'exemple avc un triangle rectangle en A 3.4.5 mais mon points M n'est pas bien placé alors que la formule semble bonne!
Ensuite j'arrive a dire que M est sur AH ( enfin presque)
mais je n'arrive pas à dire que AH est la hauteur issue de A voilou ^^

par **hellow3** » 13 Nov 2007, 21:06

Ensuite j'arrive a dire que M est sur AH ( enfin presque)
?

par **hellow3** » 13 Nov 2007, 21:09

H: projete orthogonal de A sur BC.
vecAB.vecBC = vecHB.vecBC
vecAC.vecBC = vecHC.vecBC

avec vecHC=vecBC+vecHB

----
t'as vecAM.
fait: vecAM.vec BC
Si tu t'es pas trompé, ca devrait coller.

par **feegnasse** » 13 Nov 2007, 21:17

j'ai pas tout suivi !!
Dis en remplacant pas les valeur ou trouve tu le point M ??

par **hellow3** » 13 Nov 2007, 21:22

J'ai pas encore calculé vecAM.

Ce que je te disais, c'est que si toi tu l'as deja fait;
Calcules vecAM.vecBC tu dois trouver 0

par **hellow3** » 13 Nov 2007, 21:23

AM=b²*vecteurAB+c²vecteurAC/(2*(bc)²) ?

par **feegnasse** » 13 Nov 2007, 21:43

Oui c'est ce que je trouve !

par **hellow3** » 13 Nov 2007, 21:45

AM=(b²*vecteurAB+c²vecteurAC) /(2*(bc)²) ?

t'as posé quoi pour a,b et c.

par **hellow3** » 13 Nov 2007, 22:24

Excuse-moi, je sens la fatigue.

Je suis vraiment NUL!!!!!!!
Si comme moi, tu as b=AC et c=AB

oui, tu as vecAM=(b²*vecteurAB+c²vecteurAC) /(2*(bc)²)

donc vecAM.vecBC= (b²*vecAB.vecBC +c²vecAC.vecBC) /(2*(bc)²)

or vecAB.vecBC=-c²
et vecAC.vecBC=b²

Donc:
vecAM.vecBC= (b²*(c²) +c²*(-b²) /(2*(bc)²) = 0

Désolé pour le temps de reaction absolument desolant.......

par **feegnasse** » 13 Nov 2007, 22:32

Ok mias ca me donne quoi ca ??

par **hellow3** » 13 Nov 2007, 22:35

vecAM.vecBC = 0 si et seulement si les 2 vecteurs sont orthogonaux.

Donc la droite AM est la hauteur issue de A dans ABC.

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