Barycentre et aire

[bogos]

Bonjour voilà j'ai un DM de maths a rendre et le problème c'est que je n'arrive pas et je bloque.
Si vous pouviez m'aider s'il vous plait.

Voila l'énoncé:

Soit ABC un triangle quelconque, et M un point intérieur à ce triangle. On définit alors N milieu de [AM], P milieu de [BN], et Q celui de [PC).

On veut déterminer la position du point M pour que les points M et Q soient confondus.

1/ Ecrire Q comme barycentre de A, M, B, C.
2/ En deduire que: M=Q <=> M est le barycentre des points pondérés A(1), B(1), C(4).
3/ Montrer que, dans ce cas, l'aire du triangle ABC vaut 7 fois celle de MNP.

Merci d'avance pour votre aide!

on sait que N milieu de [AM] P milieu de [BN]
donc N isobarycentre de A et M donc P isobarycentre de B et N
N barycentre de (A;1) (M;1) P barycentre de (B;1) (N;1)

Q milieu de [PC]
donc Q isobarycentre de P et C
Q barycentre de (P;1) (C;1)

[Ben314]

Salut,
Il te faut utiliser l'associativité des barycentres :
Tu as N=Bar((A,1),(M,1)) où la somme des poids fait 1+1=2
Tu as P=Bar((B,1),(N,1)) mais aussi P=Bar((B,2),(N,2)) où le poid associé à N est 2 ce qui permet de "remplacer" le (N,2) par (A,1),(M,1) : c'est "l'asociativité" des barycentres.
On a donc P=Bar((B,2),(A,1),(M,1)) où la somme des poids fait 2+1+1=4
Fait de même pour Q.

Ensuite, il y a une faute de frappe au 2/ :

2/ En deduire que: M=Q M est le barycentre des points pondérés A(1), B(2), C(4).

[bogos]

Merci de m'avoir répondu.

1/ Q barycentre (P;1) (C;1)
Q barycentre (P;2) (C;2)
Q barycentre (B;1)(N;1)(C;2) somme des coeffs 1+1+2=4

Donc Q barycentre de (A;1) (M;1) (B;2) (C;4) c'est sa ?

Question 2 : Ah oui c'est vrai j'ai pas fait attention mais comment on démontre cela
De meme pour la question 3, aidez moi s'il vous plait.

Merci d'avance.

[bogos]

Bonjour, j'ai réussi à trouver la question 1.
merci de vos explications

Mais je bloque sur les questions 2 et 3, pouvez vous m'aider s'il vous plait.

Merci d'avance.

[bogos]

Bonjour,

Pour la question 2, j'ai essayé et j'ai trouvé ça :

Q barycentre de (A;1) (M;1) (B;2) (C;4)
1+1+2+4=8
8 différent de 0 donc Q existe et est unique

Q vérifie : QA + QM + 2QB + 4QC = 0
équivaut à QM + MA + QM + 2QM + 2MB+ 4QM + 4 MC = 0
équivaut à 8QM + MA + 2MB + 4MC = 0

Donc M barycentre de (A;1) (B;2) (C;4) D'ou M = Q

ES ce que c'est bon ?

De plus comment fait-on la question 3 s'il vous plait ?

Merci d'avance.

[Ben314]

Salut (tardif...)
Pour la 1), c'est O.K.
Pour la 2) aussi, modulo de rédiger un peu mieux :

Q barycentre de (A;1) (M;1) (B;2) (C;4) 1+1+2+4=8 différent de 0 donc Q existe et est unique

Q vérifie : QA + QM + 2QB + 4QC = 0
équivaut à QM + MA + QM + 2QM + 2MB+ 4QM + 4 MC = 0
équivaut à 8QM + MA + 2MB + 4MC = 0

Donc Q=M si et seulement si MA + 2MB + 4MC = 0 c'est à dire si et seulement si M barycentre de (A;1) (B;2) (C;4)

Pour la 3) il y a surement des plusieurs façons de procéder. En voilà une :
1) Montre que M=bar((A,1),(I,6)) où I=bar((B,2),(C,1)) est sur le segment [BC]
2) Déduit en que AN=NM=3/7.AI ; que MI=1/7.AI et que IC=2IB (distances)
3) Montre que l'aire a(MNP)=1/2.a(MNC) ; que a(MNC)=3/7.a(AIC) et que a(AIC)=2/3.a(ABC)

[bogos]

Bonjour, merci de m'avoir répondu.

Pour la 3) il y a surement des plusieurs façons de procéder. En voilà une :
1) Montre que M=bar((A,1),(I,6)) où I=bar((B,2),(C,1)) est sur le segment [BC]
2) Déduit en que AN=NM=3/7.AI ; que MI=1/7.AI et que IC=2IB (distances)
3) Montre que l'aire a(MNP)=1/2.a(MNC) ; que a(MNC)=3/7.a(AIC) et que a(AIC)=2/3.a(ABC)


La question 1 je l'ai fait mais j'ai du mal avec les questions 2 et 3.
pouvez vous m'aider s'il vous plait.

Merci d'avance.

[Ben314]

Pour la 2) il faut faire ce type de raisonnement :
Comme M=bar((A,1),(I,6)) alors, pour tout point X, on a (6+1)XM=XA+6XI (en vecteurs) donc, en particulier, pour X=I on a 7IM=IA (vecteurs) qui implique que 7IM=IA (distances)
Ne pas oublier aussi que N est le milieu de AM et donc que NM=1/2AM...

Pour la 3), à chaque fois, les deux triangles en question ont soit une "base" commune et des hauteurs (relatives à cette base) facilement comparable, soit une "hauteur" commune et des bases facilement comparables.

[bogos]

Bonsoir, merci de m'avoir répondu.

Désolé mais je n'ai pas compri le raisonnement, pouvez vous m'expliqué d'avantage s'il vous plait.

Merci d'avance.

[bogos]

Bonsoir, pouvez m'expliqué le raisonnement s'il vous plait car j'ai du mal à comprendre.

Pour la 3) il y a surement des plusieurs façons de procéder. En voilà une :
1) Montre que M=bar((A,1),(I,6)) où I=bar((B,2),(C,1)) est sur le segment [BC]
2) Déduit en que AN=NM=3/7.AI ; que MI=1/7.AI et que IC=2IB (distances)
3) Montre que l'aire a(MNP)=1/2.a(MNC) ; que a(MNC)=3/7.a(AIC) et que a(AIC)=2/3.a(ABC)

Merci d'avance.