bonjour, je bloque sur les quatre première question pourriez vous m'aider s'il vous plait?
ca peut vous paraitre facile mais on vient juste de finir cette partie en cour.
Les parties A et B sont indépendantes.
Un laboratoire de recherche étudie l'évolution d'une population animale qui semble en voie de disparition.
Partie A
En 2000, une étude est effectuée sur un échantillon de cette population dont l'effectif initial est égal à mille.
Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d'individus, est approché par une fonction du temps (exprimé en années à partir de l'origine 2000).
D'après le modèle d'évolution choisi, la fonction est dérivable, strictement positive sur [0; +[, et satisfait l'équation différentielle :
(E) y' = -1/20y(3 - ln y)
1. Démontrer l'équivalence suivante :
Une fonction f, dérivable, strictement positive sur [0;infini +[, vérifie, pour tout t de [0; +infini[,
f'(t)=-1/20f(t)[3-ln(f(t))] si et seulement si la fonction g = ln(f) vérifie, pour tout t de [0; +[, g'(t)=1/20g(t)-3/20 .
2. Donner la solution générale de l'équation différentielle :
(H) z'=-1/20z-3/20
3. En déduire qu'il existe un réel C tel que, pour tout t de [0; +[ :
f(t)=exp(3+Cexp(t/20))
(la notation exp désigne la fonction exponentielle naturelle ).
4. La condition initiale conduit donc à considérer la fonction définie par :
f(t)=exp(3-3exp(t/20))
a) Déterminer la limite de la fonction en +infini
b) Déterminer le sens de variation de sur [0, + infini[.
c) Résoudre dans [0, infini+[ l'inéquation .
Au bout de combien d'années, selon ce modèle, la taille de l'échantillon sera-t-elle inférieure à vingt individus ?