Axiome de Peano

[Achtax]

Il s'agit ici de démontrer le 5eme axiome de peano. Et je bloque...

[Sourire_banane]

Un axiome ne se démontre pas, par définition.

[Achtax]

Intitulé du DM " on se propose de démontrer l'axiome suivant : La seule partie de N contenant 0 et chacun de ses successeur c'est N "

[Sourire_banane]

Intitulé du DM " on se propose de démontrer l'axiome suivant : La seule partie de N contenant 0 et chacun de ses successeur c'est N "

Mouais ok alors il a valeur de corollaire des axiomes précédents.
Alors ça semble assez logique puisque par def N est construit par recurrence et contient 0.
Faut montrer la prop par double inclusion je parie.

[Achtax]

Que signifie corollaire ? Et que signifie "montrer la prop par double inclusion " ?
J'ai oublier de préciser que ce DM a été proposer en spé pour introduire la récurrence

[Achtax]

ok enfaite je vois mais prouver que A contenu dans N ça va. Le problème c'est prouver N contenu dans A

[leon1789]

Le problème c'est prouver N contenu dans A

C'est quoi ta définition de N ?

[Achtax]

N est l'ensemble des entiers naturels.

[Sourire_banane]

N est l'ensemble des entiers naturels.

Et encore ?

[Achtax]

N est ordonné. Ses membres sont donc comparables

[leon1789]

N est l'ensemble des entiers naturels.

Quelle est ta définition des entiers naturels ?

(bien sûr, ne pas répondre qu'ils sont définis par les 5 axiomes de Péano...)

[Sourire_banane]

Quelle est ta définition des entiers naturels ?

(bien sûr, ne pas répondre qu'ils sont définis par les 5 axiomes de Péano...)

Ce serait pas mal :ptdr:

[Achtax]

Ce sont les nombres entiers positifs et 0

[leon1789]

Ce sont les nombres entiers positifs et 0

les nombres entiers naturels sont les nombres entiers "positifs".

Comment définir les nombres entiers relatifs ? C'est encore plus dur que définir les entiers naturels.

[Achtax]

désolé mais je ne comprend pas ... pourrais-tu développer stp ?

[beagle]

Bah oui le prof parle de N dans son exo sans avoir définit ce qu'était N, donc c'est pas la faute d'Achtax.
Alors Achtax est censé avoir eu il ya 5 ans une leçon qui définissait N.
Oui, mais il a paumé le classeur où c'était archivé.
Donc l'exo est-il vraiment malin Léon?

[Achtax]

Pour tout vous dire ma dernière leçon définissant N date de la seconde et ma prof de l'époque définissait bien N comme "l'ensemble des entiers naturels" sans s'attarder plus que ça

[leon1789]

Donc l'exo est-il vraiment malin Léon?

mon avis est que Achtax n'a pas, avec son cours, de quoi faire ce qu'on lui demande.

[leon1789]

Pour tout vous dire ma dernière leçon définissant N date de la seconde et ma prof de l'époque définissait bien N comme "l'ensemble des entiers naturels" sans s'attarder plus que ça

C'est normal.

Mais qui t'a demandé de prouver de " La seule partie de N contenant 0 et chacun de ses successeur c'est N" ?

Celui qui t'a demandé cela sans t'en donner les moyens (là, il faut voir tes notes de cours) te fait foncer dans un "mur logique"...

Les 5 axiomes de Péano servent à définir les entiers naturels (et bien sûr, les 4 premiers axiomes ne suffisent pas). Mais il y a d'autres moyens axiomatiques de le faire. Le tout est de connaître le début de ton histoire pour pouvoir écrire des preuves qui ont un sens logique.

[beagle]

A est la partie de N qui contient tous les successifs.
B est la partie complémentaire pour former N.

B contient alors un entier k.
et alors il existe des entiers k-1,k-2,..., k-k=0
qui ne sont pas dans A car sinon k apartiendrait à A.
Donc A est vide.
Oui mais A est plein donc k n'existe pas.
Donc B est vide.
donc A est N.