Axiome de Peano

[Achtax]

ok je vois l'idée merci beaucoup pour ton aide !

[beagle]

Maintenant que c'est fini,
pourquoi pas
tout ensemble de 1 appartient à N.
si bijection égalité de 1
si injection alors il existe un plus petit et un plus grand
si bijection moins un élément,alors on a les consécutifs, les successifs.
ça suffit pas un truc ensembliste basique?

c'est beau Péano, ok, cela doit ètre rigoureux,et permettre de belles constructions
mais définir N par l'ordinalité c'est horrible,
les entiers existent comme cardinaux, hugh!

Péano ressemble à ma fille qui compte sur ses doigts!
trop lutté contre ça, j'ai trop...

[leon1789]

Maintenant que c'est fini,
pourquoi pas
tout ensemble de 1 appartient à N.

Tu sais, il n'y a qu'un seul ensemble de 1 , c'est {1}.
{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1} = {1}.

si bijection égalité de 1
si injection alors il existe un plus petit et un plus grand
si bijection moins un élément,alors on a les consécutifs, les successifs.
ça suffit pas un truc ensembliste basique?

Il y a bien des définitions ensemblistes. Voir la 3ème réf au-dessus, ou encore
0 = {}
1 = {0}
2 = {0,1}
3 = {0,1,2}
etc.
Mais le "etc" est bancal, il faut être plus précis.

les entiers existent comme cardinaux, hugh!

Oui, on peut définir les entiers en disant que ce sont les cardinaux des ensembles finis.
Les ensembles finis étant les ensembles qui ne peuvent pas être mis en bijection avec une de leur partie stricte.

Péano ressemble à ma fille qui compte sur ses doigts!

oui, Péano, c'est une vision très naturelle de N par la récurrence.

Les définitions modernes (ensemblistes comme au-dessus) sont peut-être plus intéressantes pour faire des maths abstraites, mais pas pour faire des maths effectives/constructives à mon avis : tu imagines une preuve qu'un ensemble est fini quand il faut montrer qu'il n'existe pas de bijection entre l'ensemble et une partie stricte ?... comment peut-on apprendre à compter avec un truc pareil ? :ptdr:
Typiquement, un algo récursif se rapproche clairement de Péano.

[beagle]

Tu sais, il n'y a qu'un seul ensemble de 1 , c'est {1}.
{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1} = {1}.


Il y a bien des définitions ensemblistes. Voir la 3ème réf au-dessus, ou encore
0 = {}
1 = {0}
2 = {0,1}
3 = {0,1,2}
etc.
Mais le "etc" est bancal, il faut être plus précis.


Oui, on peut définir les entiers en disant que ce sont les cardinaux des ensembles finis.
Les ensembles finis étant les ensembles qui ne peuvent pas être mis en bijection avec une de leur partie stricte.


oui, Péano, c'est une vision très naturelle de N par la récurrence.

Les définitions modernes (ensemblistes comme au-dessus) sont peut-être plus intéressantes pour faire des maths abstraites, mais pas pour faire des maths effectives/constructives à mon avis : tu imagines une preuve qu'un ensemble est fini quand il faut montrer qu'il n'existe pas de bijection entre l'ensemble et une partie stricte ?... comment peut-on apprendre à compter avec un truc pareil ? :ptdr:
Typiquement, un algo récursif se rapproche clairement de Péano.

Bon, je suis d'accord sur la force de l'approche Péano.
Mais c'est pour discuter aussi.
Pis je suis de la génération maths modernes, enfin pas que mais j'ai été à cheval.
Et au forum supérieur un post-bac en BTS me demande : mais c'est quoi un ensemble?J'ai pas encore fait cette leçon.
ça tue!

Ensuite si tu regardes l'enseignement en maternelle, on a voulu zapper l'approche cardinale de présentation des nombres type: je vois 2 crayons et 2 crayons, c'est le 4 crayons.
Il a été dit cette approche ne fait pas sens.C'est de la mémorisation mécanique.
Il a été préféré la méthode Péano.
1 , 2, 3 puis 4, quatre n'est pas le nom du dernier élément mais l'ensemble.
Les psychopédagogues trouvaient cela censé,
oubliant que les maths se font tout autant sinon avant tout (au sens premier-précédent) par les sens physiques.
bref ma fille pour faire 6+2
faisait du Péano:
1,2,3,4,5,6 puis 7,8, ça fait huit.
il manque l'image pour voir les doigts bouger.
j'ai ramé pour l'obliger à cardinaliser, on peut cardinaliser avec les doigts aussi, mais c'est bien meilleur que les doigts de l'ordinalité.

Pour les ensembles de 1, j'avais pas vu le blème, c'est facheux en effet.
Bon ça doit ètre la théorie des ensembles qu'il faut adapter...
Probablement comme la ref numéro 3, j'ai pas eu le temps d'aller voir.

[beagle]

J'ai été voir la ref3 qui est ensembliste et cela n' a pas l'air plus simple que Péano.
Donc on dira que c'est nécessaire pour une rigueur qui veut aller plus loin , je ne sais pas où...

A un petit niveau qui ne permet pas d'aller très loin, je crois que la définition d'un entier peut ètre ensembliste comme une collection de 1, 1 qui sont identiques comme unité, mais bien sur différents les uns des autres.
et N est l'ensemble des entiers qui sont les collections de 1.

un troupeau de chèvres est une collection de 1 chèvre et une autre chèvre et encore une chèvre.
Je suis dans les entiers où chaque chèvre est une= le 1, mais où tous les un sont différents.

Donc il n'est pas nécessaire de définir N à partie de ses propriétés, d'ordre, de successifs de...
La cardinalité existe avant les propriétés d'ordre.

Que l'on ne puisse aller très loin avec une telle définition, je suis prèt à l'admettre.
mais je ne vois pas en quoi cela ne définit pas les entiers et N.
Avec ma défintion lorsque le troupeau de chèvres se sépare en plusieurs groupes il n' y a pas à démontrer que cela reste des éléments de N.
Puis le loup arrive , bouffe une chèvre,laisse le cadavre, on sort de N ...

[beagle]

Pour le dire également autrement.
Je dis je prends un entier k, alors k-1 est entier.
Léon, tu me réponds mais pourquoi k-1 serait entier.

voilà bien quelque chose de choquant, pour moi cela signifie que l'on dit je prends un entier k,
mais je ne sais pas ce qu'est un entier.Ah bon, ben le prends pas alors si t'es pas sur.
Si k est entier parce que peano fait les entiers tous les 1+1+1+1+...+1
enlever 1 est bien un 1+1+1+1+...+1
idem dans la collection de 1 dans la collection de chèvres, que le troupeau se sépare en deux, qu'une chèvre s'échappe, nous restons dans les entiers sans rien avoir à démontrer puisque c'est la définition de l'entier...m'enfin...

[nodjim]

Encore un petit effort, et on va finir par savoir si les anges sont des filles ou des garçons....

[leon1789]

Pour le dire également autrement.
Je dis je prends un entier k, alors k-1 est entier.
Léon, tu me réponds mais pourquoi k-1 serait entier.

Effectivement, si k est le plus petit entier naturel, alors k-1 n'est pas un entier naturel.

Alors tu vas me dire que tu prends k>0, et donc k-1 est entier.
Je vais alors te demander de me donner une définition formelle/mathématique des entiers dans laquelle il est plus ou moins explicitement écrit que tout entier k>0 possède un prédécesseur k-1...
Une fois cela fait, alors je serai ok.

Dans les axiomes de Péano, c'est justement le 5ème axiome qui permet de le prouver (les 4 premiers axiomes ne suffisent pas, il faut leur ajouter le 5ème).

Est-ce que cette définition ensembliste https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Peano#Existence_et_unicit.C3.A9
te conviendrait ? Je pense que le début (0={}, 1={0}, etc.) ressemble à ce que tu veux, mais as-tu vu qu'il faut construire pleins d'ensembles infinis pour en déduire N... Je trouve que c'est une horreur au niveau de l'intuition. Personnellement, parmi toutes les définitions des entiers et de N, c'est Péano que je préfère largement, car c'est très algorithmique et facile d'utilisation.


En utilisant la réf 2, pour obtenir k-1, j'ai dû apporter un ensemble majoré ... et faire un raisonnement par l'absurde. :hum:

[leon1789]

Pour le dire également autrement.
Je dis je prends un entier k, alors k-1 est entier.
Léon, tu me réponds mais pourquoi k-1 serait entier.

Effectivement, si k est le plus petit entier naturel, alors k-1 n'est pas un entier naturel.

Alors tu vas me dire que tu prends k>0, et donc k-1 est entier.
Je vais alors te demander de me donner une définition formelle/mathématique des entiers dans laquelle il est plus ou moins explicitement écrit que tout entier k>0 possède un prédécesseur k-1...
Une fois cela fait, alors je serai ok.

Dans les axiomes de Péano, c'est justement le 5ème axiome qui permet de le prouver (les 4 premiers axiomes ne suffisent pas, il faut leur ajouter le 5ème).

Est-ce que cette définition ensembliste https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Peano#Existence_et_unicit.C3.A9
te conviendrait ? Je pense que le début (0={}, 1={0}, etc.) ressemble à ce que tu veux, mais as-tu vu qu'il faut construire pleins d'ensembles infinis pour en déduire N... Je trouve que c'est une horreur au niveau de l'intuition. Personnellement, parmi toutes les définitions des entiers et de N, c'est Péano que je préfère largement, car c'est très algorithmique et facile d'utilisation.


En utilisant la définition de la réf 2 (qui est assez intuitive aussi), pour obtenir k-1, j'ai dû apporter un ensemble majoré.

[beagle]

je ne vais nier la force de la construction de Péano.
mais il me semble que cette force c'est d permettre une belle construction de l'arithmétique, et autres ...

s'agissant de la définition d'un entier, on peut faire plus simple et rester à un niveau de maternelle très satisfaisant je trouve.
je reste sur ce que j'ai dit tout ensemble de 1 est un entier, ces 1 sont identiques au niveau de l'unité définie: chèvre, crayon, table, fleurs, mais ces 1 sont tous différents car il ne s'agit pas de la mème chèvre, du mème crayon...
donc une patate avec des unités de... va définir les entiers par la cardinalité de cet ensemble.

dès lors dès que tu coupes la patate en morceaux , cela reste une patate avec des unités de 1 quelque chose qui a une cardinalité, c'est un entier forcément.

Quelle cardinalité cela représente est un problème secondaire.La quantité,cardinalité existe avant la notion d'ordre.
Ben après nait l'ordre, j'en ai autant bijection, j'en ai moins ou plus ...

Dans toutes les constructions proposées Péano, ensembliste on commence par l'ordre.
et c'est cela que je trouve moche personnellement.Pour ce que j'ai a faire bien sur ...

Pour le dire autrement quelqu'un qui se pose la question de savoir si à un entier on enlève 1 alors on a encore un entier doit avoir une définition des entiers qui relève de l'usine à gaz.ce qui n'empèche pas d'avoir une grosse production derrière grace à l'usine, mais bon, c'est une usine à gaz.

[Dlzlogic]

Bonsoir Beagle,
Je suis complètement d'accord avec toi.
Imaginons une seconde que quelqu'un découvre une faille dans la théorie actuellement d'actualité, que la définition des entiers serait fausse ou incomplète, donc les entiers seraient mal définis, donc on ne pourrait plus s'en servir. Pythagore se retournera dans sa tombe.
Pourtant chacun sait que les entiers existent bien, sans ambiguïté ni discussion possible.
Tu as fait allusion à la relation d'ordre, c'est tout à fait à propos. J'ai appris dernièrement que "inférieur" voulait dire "plus petit ou égal", resp. pour "supérieur". Cela me pose réellement un problème lorsque je fait des tests en informatique, ma machine n'y comprend plus rien. Je suppose que pour les élèves, ça doit être pareil.
Bonne nuit.

[adrien69]

Salut les gens,
Je ne suis pas d'accord avec vous Beagle et Dlzlogic. D'après moi c'est la notion d'ordre qui précède la cardinalité. J'ai deux bouquins de vulgarisation qui m'en ont convaincu (faudra que je les retrouve dans ma bibliothèque pour vous donner les titres -il doit y en avoir un qui s'appelle "la bosse des maths" ou un truc du genre-). Ça provient du fait qu'il est plus aisé de comparer des quantités que de les mesurer. La preuve en est que pour mesurer une quantité on se ramène à une autre quantité : l'unité que l'on se représente plus facilement. On repère ainsi mieux 2h18 que 138 minutes. Un autre point à souligner et la primauté de la notion qualitative du nombre chez l'enfant. Un gamin écartant grand les bras en s'écriant "il est gros comme ça le camion !" n'a pas la moindre idée de la quantité de mètres qu'il représente, ni même est capable de dire combien de fois ses deux bras écartelés peuvent rentrer dans le camion. Il sait juste que le camion est vachement plus grand. C'est exactement pareil pour le nombre de billes, de bons points, etc. "J'en ai plein", ou "j'en veux plus" prennent le pas sur la quantité possédée ou voulue.
Cette préférence pour le qualitatif, et donc l'ordre, subsiste d'ailleurs à l'âge adulte, que ce soit à propos des objets commensurables comme la taille : "je suis plus petit/grand que toi/la moyenne", la "moyenne" étant d'ailleurs une estimation subjective et qualitative de quelque chose de normalement quantitative, j'entends par là qu'on définit généralement la moyenne à partir de soi et d'une comparaison avec les autres : "la moyenne doit être un peu au-dessus de moi puisque je suis en-dessous de la plupart" (le salaire faisant peut-être exception du fait de tous les marqueurs quantitatifs qui lui sont associés, tels les impôts, le prix des courses, les vacances, etc) ; mais aussi à propos des objets incommensurables bien sûr, comme la beauté, le goût d'un plat, etc.
Et c'est cet attrait pour la primauté de l'ordre dans la vie (encore quelques exemples : hiérarchie, "tu préfères papa ou maman ?) qui induit la notion de quantité : pour bien comparer il faut savoir mesurer. C'est de mon point de vue ainsi que la notion de nombre a été inventée. Le nombre c'est le moyen pour le berger préhistorique de savoir s'il a plus ou moins de brebis que son voisin, donc si c'est lui qui pourra aller demander la main de la jolie donzelle de la grotte d'à-côté.

[beagle]

Salut Adrien,
je ne suis pas en contradiction avec ce que tu dis, et peut-ètre que mes phrases sont mal fichues.
Je reprécise.
Prenosn 4 bergers qui ont respectivement 2 chèvres, 5 chèvres, 19 chèvres et 21 chèvres.
Ils ne savent pas compter pour le moment.
Lorsque je dis que la cardinalité est première, je veux dire que la quantité de chèvres dans chaque troupeau est première.Une quantité non connue avec précision, mais les chèvres sont là avant que d'ètre comptées et/ou comparées.
Alors revenons sur nombre entier.Toutes les chèvres entières seront une chèvre.Je vais définir mon unité, je définis mon 1 et à partir de là je n'aurais que des entiers que des 1 chèvres.
Si je veux m'occuper des chèvres noires, je compte une chèvre noire, et une autre chèvre noire et encore une autre chèvre noire.Entières.
revenons au troupeau de 19 chèvres, si je coupe le champ en deux parties qui ne coupent pas les chèvres, j'aurais des 1 chèvre et 1 chèvre et... dans un coin et aussi une chèvre et une chèvre et une chèvre ... dans l'autre partie du champ.Toute séparation se fera en chèvres entières, une là, une ici, une, une, une.
Donc à mes yeux un nombre entier est une collection de l'unité, l'ensemble est le champ avec ses éléments les chèvres, pour certains ils peuvent déjà dire 1+1+1+ au lieu de 1 et 1 et 1.
Il s'agit d'un nombre entier.
Donc je ne sais pas combien de 1 exactement, mais c'est entier car que du 1 et du 1 et du 1.
De sorte que le troupeau où j'enlève une chèvre sera encore du 1 chèvre et 1 chèvre et 1 chèvre, c'est aussi un nombre entier.
Donc à mes yeux, une définition des entiers qui fait dire ceci:
soit un entier k, je vais démontrer que k-1 est entier,
ben pour moi c'est qu'il a défini les entiers de manière si abstraite qu'il n'en a pas la notion finalement
(dans sa définition).

Donc d'abord existe la quantité et ensuite on va comparer et ordonner.
Les troupeaux de 2 et 5 chèvres cela se fera facilement à l'oeil pour plus ou moins, idem pour 2 et 5 par rapport aux 19 et 21.
par contre les soucis sont pour comparer 19 et 21.
ben là il faudra faire de la bijection , de la correspondance terme à terme.
J'en enlève 2 d'un troupeau et 2 de l'autre, j'en enlève 3 et 3, cela revient à le faire 1 par 1,
bref, à la fin,
dans un troupeau , le 19 il n' y a plus de chèvres, dans le 21 il reste 2 chèvres.

ensuite on pourra construire de 1 en 1, mais nous ne sommes pas pressés, et cela n'est pas nécessaire.

Donc je ne sais pas pourquoi tout le monde Péano et les ensemblistes veulent commencer par 0,1,1+1,...
Est-ce pour N?
est-ce pour définir les entiers?
Enfin perso je ne vois pas la nécessité de définir les entiers à partir des successifs.

[leon1789]

Dans toutes les constructions proposées Péano, ensembliste on commence par l'ordre.

Je ne vois pas de notion d'ordre préliminaire à Péano.

[leon1789]

Pourtant chacun sait que les entiers existent bien, sans ambiguïté ni discussion possible.

Tu ignores donc l'histoire du nombre 0 ? Son existence a été sans ambiguïté ni discussion ??? :triste:

Les nombres sont une abstraction : 1 chèvre n'est pas 1 pomme. L'unité 1 à laquelle on pense quand on voit 1 gâteau n'est que dans notre tête : la réalité, c'est le gâteau, une instance du nombre abstrait 1.

[beagle]

Je ne vois pas de notion d'ordre préliminaire à Péano.

Péano et les refs ensemblistes commencent en 0,1, 1+1,...

Je dis un nombre entier est une collection de 1 dont j'ignore le nombre.

[leon1789]

(...) pour bien comparer il faut savoir mesurer. C'est de mon point de vue ainsi que la notion de nombre a été inventée.

Je trouve que cela se tient.

[leon1789]

Péano et les refs ensemblistes commencent en 0,1, 1+1,...

Je dis un nombre entier est une collection de 1 dont j'ignore le nombre.

Péano commence par 0 est un entier, n -> n+1 fonction injective, puis principe de récurrence.

Les définitions ensemblistes modernes ne font pas 0,1,1+1,... : elle s'intéressent d'abord aux ensembles infinis (ce qui me choque, car non intuitif).

Est-ce que ta définition des entiers (qui a l'air de reposer sur le dénombrement manuel) implique qu'il existe une infinité d'entiers ?

[beagle]

Péano commence par 0 est un entier, n -> n+1 fonction injective, puis principe de récurrence.

Les définitions ensemblistes modernes ne font pas 0,1,1+1,... : elle s'intéressent d'abord aux ensembles infinis (ce qui me choque, car non intuitif).

Est-ce que ta définition des entiers (qui a l'air de reposer sur le dénombrement manuel) implique qu'il existe une infinité d'entiers ?

Il ya là peut-ètre une précision supplémentaire à donner en effet sur le caractère fini de ma collection de l'unité.
Sinon un entier est une collection d'unités (qs identiques mais différentes, les chèvres noires sont entières, toutes sont identiques à la fois chèvres et noires, mais elles sont toutes différentes qs pour le truc où tu ramenais les collections de 1 au seul ensemble avec un 1.).
donc les collections où tu mets des 1 autant que tu veux en nombre fini, cela fait tous les entiers de N, bien sur.
Encore une fois c'est pourquoi parle-t-on de entier, c'est bien par rapport au 1.
Donc ne devrait pas se poser la question de k entier k-1 est-il entier.
Pour moi cela signifie que l'on a mal défini k entier.

[ahay]

bonjour comment je peux poster une question sur ce forum ??