Axiome, définition, résultat important, théorème, règle...

[alexis6]

Bonjour,

Dans le chapitre Géométrie dans l'espace de mon livre de terminale, je vois successivement apparaître des règles, propriétés, définitions, théorèmes puis conséquences. Je connais aussi les axiomes d'Euclide.

J'ai deux questions:

Quelles définitions rigoureuses pourrait-on donner à ces mots?
Chaque livre de mathématiques admet-il en général les mêmes définitions pour ces mots?
Par exemple, une propriété dans un certain livre peut-elle devenir une définition dans un autre?

[Ben314]

Quelles définitions rigoureuses pourrait-on donner à ces mots?

Si tu parle des mots "axiomes", "règles", "propriétées", "définition", "théorème" et "conséquences", il y a trois types :
- Les axiomes qui sont des propriétés que l'on va considérer comme "vrai" sans démonstration (en fait, cela signifie que tout ce qu'on va raconter ensuite sera vrai dans un contexte donné où les axiomes sont vrais)
- Les définitions qui servent simplement à donner un nom à des concepts que l'on va souvent utiliser.
- Les "règles", "propriétés", "théorèmes", "conséquences" (et on peut rajouter les "lemmes" et autres "corollaires") qui sont des propositions dont on a démontré la véracité à l'aide des axiomes et des règles de la logique. Ces différents vocables servent à "classer" ces résultats par ordre d'importance/utilité : Les plus importants sont pompeusement appelés "théorèmes". Ceux permettant de démontrer un important "théorème" sont spuvent appelés "lemmes" (préliminaires). Ceux qui découlent d'un "théorème" (des cas particulier du théorème) sont souvent nommés "corollaires" (ou "conséquence")... etc

Chaque livre de mathématiques admet-il en général les mêmes définitions pour ces mots?

Les livres scolaires Français auront quasi obligatoirement les mêmes axiomes et les même définitions (y'a un programme officiel à respecter...) mais ce qui est un "théorème" dans un livre peut tout à fait être une "propriété" dans un autre, voire un "lemme" ou un "corollaire"...
Par contre, si tu regarde d'autre livres (non scolaires ou bien des livres scolaires d'autres pays), tu risque d'y trouver des axiomes différents et des définitions différentes (des fois équivalentes à celles des manuels scolaires français et... des fois pas... ce qui pose problème)

Par exemple, une propriété dans un certain livre peut-elle devenir une définition dans un autre?

Oui, bien sûr. Pour prendre un exemple simple, celui du mot "parallélogramme" : Il y a plusieurs caractérisation (équivalentes) de cette notion et on peut prendre celle qu'on veut comme "définition", les autres caractérisations deviennent alors des "théorèmes".
Dans certain bouquins, pour insister sur ce fait, on écrit un truc du style :
Théorème et définition : Etant donnés quatres points A,B,C,D du plan, les propriétés suivantes sont équivalente :
(1) ....
(2) ....
(3) ....
Lorsque une de ces propriétée (donc toutes) est (sont) vérifiée(s), on dit que ABCD est un parallélogramme.

Mais dans les manuels scolaires français, je pense que les auteurs ont a peu prés tous les mêmes définitions (plus ou moins imposés par les sacro-saint "programmes scolaires")

[alexis6]

Si le programme scolaire français a un contenu intouchable, en revanche les éditions de manuels scolaires prennent un malin plaisir à prendre leurs notations personnelles, ce qui ajoute à la confusion des élèves ( du moins ceux qui se posent ce genre de questions ou ceux qui diversifient leurs sources au niveau des manuels ). Ainsi quelquefois en contrôle, je suis souvent à me demander si ceci est un théorème, une propriété, une règle... Mais il faut avouer que c'est une question de rigueur, que la plupart des élèves ( et mêmes certains profs ) négligent.

[beagle]

"Mais il faut avouer que c'est une question de rigueur, que la plupart des élèves ( et mêmes certains profs ) négligent."

il y a sur ce forum quelques profs qui sont d'un rigueur je trouve un peu extrème,
et je les trouve inquiétants.

Donc, définition, théorème, propriétés,
ben au niveau collège , lycée franchement,
je me contenterais d'un "on sait que ..."
on sait que parce que c'est dans l'énoncé,
parce qu'on l'a appris l'année dernière basta ...

[Ben314]

Perso. (donc ça n'implique que moi...) je suis comme beagle, qu'un résultat démontré porte le nom de "théorème" ou "règle" ou "propriété" ou ... autre..., je ne vois vraiment pas ce que ça change et j'aurais tendance à considérer que, de se demander quel est le "vocable dédié" n'a rien à voir avec "une question de rigueur" (en tout cas pas au sens scientifique du mot rigueur).

[beagle]

Perso. (donc ça n'implique que moi...) je suis comme beagle, qu'un résultat démontré porte le nom de "théorème" ou "règle" ou "propriété" ou ... autre..., je ne vois vraiment pas ce que ça change et j'aurais tendance à considérer que, de se demander quel est le "vocable dédié" n'a rien à voir avec "une question de rigueur" (en tout cas pas au sens scientifique du mot rigueur).

mais ta réponse a plus de valeur que la mienne car je ne suis pas prof et qu'on peut légitimement m'envoyer sur les roses.par contre j'ai l'habitude à te fréquenter depuis longtemps , je sais que tu privilégies le fond sur la forme, et j'aime bien.


Par exemple, d'après Pythagore dans un triangle rectangle, nous avons la propriété suivante:
" la somme des carrés ..."
me fait sourire, mais ne me gènerait pas.

[zygomatique]

mais ta réponse a plus de valeur que la mienne car je ne suis pas prof et qu'on peut légitimement m'envoyer sur les roses.par contre j'ai l'habitude à te fréquenter depuis longtemps , je sais que tu privilégies le fond sur la forme, et j'aime bien.


Par exemple, d'après Pythagore dans un triangle rectangle, nous avons la propriété suivante:
" la somme des carrés ..."
me fait sourire, mais ne me gènerait pas.

salut

peut-être faut-il comprendre qu'il y a une différence entre deux mathématiciens qui discutent ou un prof qui aide sur un forum quelqu'un qu'il ne connaît pas et qui peuvent se permettre des raccourcis (compris par les mathématiciens ou pour ne pas se fatiguer en donnant une réponse) et un prof qui instruit et qui est en cours d'apprentissage avec des élèves en face de lui ...

dans tous les cas on voit les conséquences dans l'éducation de la médiocrité et de l'absence des efforts ... pour de temps en temps écrire proprement les choses ... il n'y a qu'à regarder le calcul de base .... et l'incapacité à mener des raisonnements élémentaires ... du fait de l'absence de langage ....

:lol3:

[beagle]

"et l'incapacité à mener des raisonnements élémentaires ... du fait de l'absence de langage ...."

à mes yeux l'incapacité à mener des raisonnements ne vient pas PRINCIPALEMENT du langage,
donc je trouve que se battre sur la rigueur du langage, c'est perdre le temps de comprendre et d'enseigner les supports non verbaux de l'abstraction
les supports non verbaux des manipulations mentales qui permettent le raisonnement.

Mais je reconnais un biais, ce sont ces supports absents qui me sautent aux yeux ...
sans doute car je m'y suis sensibilisé.

encore un fois, théorème ou propriété, ben le gars qui me dit :"depuis les grecs (et moi depuis l'an dernier) on sait que lorsque le triangle est rectangle patati patata", il utilkise un langage à lui qui ne gène pas le raisonnement ...