"Avant première" Exponentielle et logarithme

[Euler911]

Bonjour à tous,

Ayant décidé d'anticiper le programme de rhétorique je me suis confronté aux exponentielles et aux logarithmes.

Je poste ici un exercice avec ma solution (le but étant de me corriger ):

On considère une fonction dérivable sur , non nulle, vérifiant pour tous x et y:
[CENTER][/CENTER]

1) montrer que ne s'annule pas (raisonner par l'absurde)

• Résolution

Supposons que s'annule en un réel .

Comme ,



Or nous avons supposé que s'annule en

Donc


Ce qui implique que soit nulle pour tout x réel: il y a contradiction avec nos hypothèses puisque est non nulle.

Donc ne s'annule pas.

2) Montrer que et que, pour tout x: .

• Résolution

1. 
   
   
   
   Ce qui revient à chercher un réel tel que:
   
   
   Autrement dit la solution a=0 est à rejeter puisque quelque soit x réel:
   
   
   D'où
   
2. 
   
   Supposons que soit négative dans un intervalle . Le fait que soit dérivable sur implique que soit continue sur . Or si est continue sur et négative sur cela implique par le théorème des valeurs intermédiaires que s'annule. Ce qui contredit le point 1). Donc pour tout x:

Il reste un 3e point mais j'aimerai savoir si ce que j'ai déjà fait est correct:-)

Merci d'avance à tous ceux qui auront la patience de me répondre

[Clembou]

Bonjour à tous,

Ayant décidé d'anticiper le programme de rhétorique je me suis confronté aux exponentielles et aux logarithmes.

Je poste ici un exercice avec ma solution (le but étant de me corriger ):

On considère une fonction dérivable sur , non nulle, vérifiant pour tous x et y:
[CENTER][/CENTER]

1) montrer que ne s'annule pas (raisonner par l'absurde)

• Résolution

Supposons que s'annule en un réel .

Comme ,



Or nous avons supposé que s'annule en

Donc


Ce qui implique que soit nulle pour tout x réel: il y a contradiction avec nos hypothèses puisque est non nulle.

Donc ne s'annule pas.

2) Montrer que et que, pour tout x: .

• Résolution

1. 
   
   
   
   Ce qui revient à chercher un réel tel que:
   
   
   Autrement dit la solution a=0 est à rejeter puisque quelque soit x réel:
   
   
   D'où
   
2. 
   
   Supposons que soit négative dans un intervalle . Le fait que soit dérivable sur implique que soit continue sur . Or si est continue sur et négative sur cela implique par le théorème des valeurs intermédiaires que s'annule. Ce qui contredit le point 1). Donc pour tout x:

Il reste un 3e point mais j'aimerai savoir si ce que j'ai déjà fait est correct:-)

Merci d'avance à tous ceux qui auront la patience de me répondre

Oui ! Normalement c'est bon :++: Tes raisonnement sont justes et efficaces.

Par contre, tu nous parles de thorème des valeurs intermédiaires alors que tu es dans la section Lycée (ce théorème est étudié dans les classes supérieures)... Enfin, bref ! :++:

Postes nous la troisième partie...

[Euler911]

Oui ! Normalement c'est bon :++: Tes raisonnement sont justes et efficaces.

Par contre, tu nous parles de thorème des valeurs intermédiaires alors que tu es dans la section Lycée (ce théorème est étudié dans les classes supérieures)... Enfin, bref ! :++:

Postes nous la troisième partie...

En Belgique on voit le théorème des valeurs intermédiaires en 5e... c'est pour ça que je l'ai utilisé:-D

Sinon merci pour ton aide

Je suis en train de résoudre la 3e partie; elle devrait arriver dans 1/2 heure je pense...

[Clembou]

En Belgique on voit le théorème des valeurs intermédiaires en 5e... c'est pour ça que je l'ai utilisé:-D

Sinon merci pour ton aide

Je suis en train de résoudre la 3e partie; elle devrait arriver dans 1/2 heure je pense...

Ok ! Autant pour moi :id:

[leon1789]

Je me permets quelques commentaires ...

1)
Pour la première question, nul besoin de faire par l'absurde :
la fonction f est non nulle donc il existe un réel x tel que f(x) non nul.
Par ailleurs, pour tout réel y on a , ce qui prouve que f(y) est non nul pour tout y.

C'est ce que tu as fait, mais sans surcharger d'un raisonnement par l'absurde... Personnellement, je trouve cela plus léger.

2)
pour f(0)=1 , ok.
Pour f(x) > 0, au lieu de faire (encore une fois) un raisonnement par l'absurde, pourquoi ne pas dire ?

[Euler911]

Bonjour Léon,

Merci pour tes commentaires:-) Personnellement je préfère ma solution à la tienne pour la 1 :zen:(en plus le raisonnement par l'absurde est conseillé par l'énoncé) Par contre pour la 2) je prend note! C'est BEAUCOUP plus simple en effet :we:.

Pour en revenir sur le point 3)

Voici ce qu'il faut faire:

3) on pose

1. Soit fixé, calculer la dérivée de la fonction:
   
   
   
2. En posant , en déduire que:
   
   
   

Je n'arrive pas à le résoudre

J'ai constaté que , ensuite j'ai dérivé chaque membre mais ça ne mène à rien! Donc si vous pouviez juste me donner un petit coup de pousse, ce serait sympa :we: (attention: je ne veux pas de solution;-) )

Merci:-)

[Clembou]

Bonjour Léon,

Merci pour tes commentaires:-) Personnellement je préfère ma solution à la tienne pour la 1 :zen:(en plus le raisonnement par l'absurde est conseillé par l'énoncé) Par contre pour la 2) je prend note! C'est BEAUCOUP plus simple en effet :we:.

Pour en revenir sur le point 3)

Voici ce qu'il faut faire:

3) on pose

1. Soit fixé, calculer la dérivée de la fonction:
   
   
   
2. En posant , en déduire que:
   
   
   

Je n'arrive pas à le résoudre

J'ai constaté que , ensuite j'ai dérivé chaque membre mais ça ne mène à rien! Donc si vous pouviez juste me donner un petit coup de pousse, ce serait sympa :we: (attention: je ne veux pas de solution;-) )

Merci:-)

Pour la première question, il faut utiliser le fait qu'on a composé f à . Donc essaies d'utiliser la dérivée de fonctions composées.

[xyz1975]

[*]

Supposons que soit négative dans un intervalle . Le fait que soit dérivable sur implique que soit continue sur . Or si est continue sur et négative sur cela implique par le théorème des valeurs intermédiaires que s'annule. Ce qui contredit le point 1). Donc pour tout x:
[/list]

Vous avez oublié un détail, une fonction peut être continue sur IR et négative sans qu'elle s'annule.

[Euler911]

Ah oui, j'ai oublié de dire que f(0)=1>0 donc la fonction est positive sur un autre intervalle, etc.

[leon1789]

Merci pour tes commentaires:-) Personnellement je préfère ma solution à la tienne pour la 1 :zen:(en plus le raisonnement par l'absurde est conseillé par l'énoncé)

Normal, tu as raison.


(une observation personnelle : les énoncés demandent trop souvent de démontrer par l'absurde. Et après, ça déteint sur notre manière de réfléchir... mais c'est une autre histoire :we: )

Pour le 3) b. j'aurais posé en laissant quelconque dans la dérivation du 3) a.

[Clembou]

Ah oui, j'ai oublié de dire que f(0)=1>0 donc la fonction est positive sur un autre intervalle, etc.

Ok ! Est-ce que tu as réfléchis sur ce que je t'ai indiqué ? Est-ce que tu aboutis à quelque chose ?

[Euler911]

Clembou:

J'arrive à ça:

Mais je pense qu'il doit y avoir une erreur ???

[leon1789]

Clembou:

J'arrive à ça:

Mais je pense qu'il doit y avoir une erreur ???

non pas d'erreur, même si la division par f(a) n'est pas utile.

Et maintenant, en posant x=0, on obtient instantanément : pour tout , .

[Clembou]

Clembou:

J'arrive à ça:

Mais je pense qu'il doit y avoir une erreur ???

Peux-tu développer avec ce que je t'ai indiqué ? :hein: (j'espère que ton raisonnement ne va pas tourner en rond)

EDIT : Grillé par leon :++:

[xyz1975]

une observation personnelle : les énoncés demandent trop souvent de démontrer par l'absurde. Et après, ça déteint sur notre manière de réfléchir... mais c'est une autre histoire

Entièrement d'accord.

[Euler911]

non pas d'erreur, même si la division par f(a) n'est pas utile.

Et maintenant, en posant x=0, on obtient instantanément : pour tout , .

Ok :we: merci

Peux-tu développer f'(x+a) avec ce que je t'ai indiqué ? (j'espère que ton raisonnement ne va pas tourner en rond)

Je pense aussi que l'on tournerai en rond !?

[Clembou]

Ok :we: merci



Je pense aussi que l'on tournerai en rond !?

Ok ! La meilleure solution est donc celle de Leon :++:

[Euler911]

Tu aurais fait comment toi?

[Clembou]

Tu aurais fait comment toi?

Heu ! En fait j'ai un doute... :hein: Comment peut-on déduire de la question précédente, la dernière question ?

Si , on a tout simplement :



Il faudrait peut-être encore développer le avec la formule de derivées des fonctions composées.

[Euler911]

Il faudrait peut-être encore développer le avec la formule de derivées des fonctions composées.

Comment car f'(a+x) est la dérivée de f pas la dérivée de f(x+a) donc je vois pas comment on pourrait simplifier ça!