D'autres nombres irrationnels que pi ?

[Djmaxgamer]

Je ne vois pas très bien tes formules Djmaxgamer mais j'imagine que tu parles de Q exclu de R pour "l'ensemble des irrationnels" (cette dénomination existe vraiment ?), donc là oui je vois bien.

PS : par "Q exclu de R" j'entends "R-Q" mais je pense que cela ne se dit pas :/

PS 2 : wahou ça va très vite ici ^^'

Oui pardon j'ai eu quelques soucis avec la notation latex : c'est édité et c'est bon maintenant

[benekire2]

Oui oui cette dénomination existe, c'est ce qui a de plus simple pour parler des irrationnel, après rien t'empêche des les appelés I ou T si l'envie te prend, faut simplement préciser :id:

[Rebelle_]

En y réfléchissant je n'avais jamais vu ce nom d'"ensemble des irrationnels". En même temps on ne s'en sert pas souvent dans ces conditions ^^'
Enfin moi au moins, à mon niveau de lycéenne standard :P

[Dinozzo13]

Ah parler des "irrationnels" au sens strict ok parce que 1 appartient bien à R ^^
@Rebelle_ : La rentrée approche, ça doit-être ça :ptdr:

[benekire2]

On pourrait aussi montrer la non déombrabilité des irrationnels, mais bon, pour montrer que !!q est dénombrable, c'est déjà pas hyper évident, alors montrer que R n'est pas dénombrable ... :zen:

[Dinozzo13]

En y réfléchissant je n'avais jamais vu ce nom d'"ensemble des irrationnels". En même temps on ne s'en sert pas souvent dans ces conditions ^^'
Enfin moi au moins, à mon niveau de lycéenne standard

Ben pareil, j'ai dû chercher cette info une fois car un de mes exo traitait de ça et j'ai pas compris la première fois donc voilà :++:

[Rebelle_]

Ouh oui, ne m'en parle pas :P Je rentre jeudi moi ^^'

Tiens, bonne remarque pour 1, je n'y avais jamais pensé !

[Dinozzo13]

On pourrait aussi montrer la non déombrabilité des irrationnels, mais bon, pour montrer que !!q est dénombrable, c'est déjà pas hyper évident, alors montrer que R n'est pas dénombrable ... :zen:

:ptdr: surtout au lycée

[benekire2]

Ouh oui, ne m'en parle pas Je rentre jeudi moi ^^'

Tiens, bonne remarque pour 1, je n'y avais jamais pensé !

Moi aussi

[Dinozzo13]

Pareil je rentre Jeudi en fin de compte xD

Mais attention à la nuance de irrationnel et de réel

[Le_chat]

Pour démontrer que Q est dénombrable, il faut essayer de le mettre en bijection avec N, ce qui n'est pas évident immédiatement!

On peut essayer de montrer qu'il y a "moins" d'éléments dans Q que dans N^2 (ce qui est un peu étrange à dire, vu que ces deux ensembles sont infinis!) en trouvant une fonction f:Q->N^2 qui soit injective (ladite f n'est pas trop dure à trouver!)

Ensuite, vous pouvez essayer de montrer qu'il y a "autant" d'éléments dans N et N^2 en trouvant une fonction g de N^2 dans N bijective (cette fonction là est plus dure à trouver, si vous n'y arrivez pas je vous la donnerai)

On aura alors montré qu'il y a... "plus" d'éléments dans N que dans Q (oui c'est bizarre, mais les infinis sont très étranges), donc que Q est dénombrable!


Pour montrer que R n'est pas dénombrable, c'est plus coton, vous pouvez regarder là : http://fr.wikipedia.org/wiki/Argument_de_la_diagonale_de_Cantor

Une fois ces deux résultats dans les mains, un peu de logique permet de montrer que l'ensemble des nombres irrationnels est indénombrable!

[AL-kashi23]

Pareil je rentre Jeudi en fin de compte xD

Mais attention à la nuance de irrationnel et de réel

Il y a aucune nuance ici. Un irrationnel est un réel tout comme un rationnel est un réel.
Ou je n'ai pas compris ton problème... D'ailleurs, c'est quoi le piège avec 1 ?

Sur la non-dénombrabilité de R , l'argument de la diagonale de Cantor est je pense accessible au lycée.

Edit: on dit R privé de Q en fait. "Q privé de R" n'a pas de sens ^^

[Alpha]

Pareil je rentre Jeudi en fin de compte xD

Mais attention à la nuance de irrationnel et de réel

Oui enfin, c'est plus qu'une nuance. Un réel est soit un rationnel, soit un irrationnel. Si l'on veut dire qu'un nombre est irrationnel, on peut donc dire "réel non rationnel", mais pas juste "réel".

[Zweig]

Un nombre est dit algébrique lorsqu'il est racine d'un certain polynôme à coefficients rationnels, i.e, il existe un entier naturel et des constantes rationnelles tel que

Ex : tous les entiers sont algébriques car racines du polynôme à coefficients entiers

Des nombres irrationnels, en veux-tu, en voilà :

- le nombre de Néper,

- plus généralement, tout nombre de la forme , avec algébrique

- les nombres et , avec algébrique

- les nombres (logarithme népérien) avec algébrique différent de 1

- conséquence du théorème de Gel'fond-Schneider : , plus généralement , avec a algébrique différent de 0 et 1 et b algébrique non rationnel

- les nombres de la forme avec x, y et z algébriques non tous nuls

- le nombre de Champernowne 0,12345678910111213… obtenu en écrivant à la suite les entiers naturels en base dix.

-

Et plein d'autres !

[Zweig]

Question subsidiaire : montrer l'irrationalité de tous ces nombres :doh: :marteau:

[Djmaxgamer]

Question subsidiaire : montrer l'irrationalité de tous ces nombres :doh: :marteau:

Je pense que pour le nombre de Champernowne est un irrationnel par définition, car les nombres rationnels ont un développement décimal répétitif ou terminé, condition que ce nombre ne remplit pas par définition.
Pour les autres :briques:

[benekire2]

Pour les autres, j'avais fait un exo sur l'irrationnalité des ln(a) a rationnel , mais pas plus loin, a mon avis le résultat est assez technique, en as tu une preuve Zweig ? Merci.