Asymptote (Tle S)

[hellow3]

Quand t'as un probleme du genre V(..) - V(...).

Multiplie par la quantitée conjuguée, une somme de racines ca a tout de suite un signe plus agréable.

[hellow3]

f(x) - x = V(x²+x+1) - V(x²) car x>0 donc x=V(x²).

La t'es bien embêté c'est une soustraction de racines.

alors tu multiplie par ( V(x²+x+1) + V(x²) ) / ( V(x²+x+1) + V(x²) )

[hellow3]

lim f(x) - x = 1/2 en +infini.

donc lim f(x) = lim x+1/2 en +infini.

1/2 c'est la distance entre la courbe de f(x) et la droite d'equation y=x en + infini.

[hellow3]

OK.

Etudier la position relative de la courbe par rapport à l'asymptote, c'est déterminer qui est "au-dessus' et qui est "en-dessous".

f(x)=Rac(x²+x+1)

En + infini: l'asymptote est y=x+1/2
Pour cela on étudie le signe de f(x)-(x+1/2) en + infini.
= Rac(x²+x+1) - (x+1/2) Il est difficile de déterminer le signe,
alors on multiplie par la quantitée conjuguée Rac(x²+x+1) + (x+1/2)

= (Rac(x²+x+1) - (x+1/2)) * [ (Rac(x²+x+1) + (x+1/2)) / (Rac(x²+x+1) + (x+1/2))]
= ((Rac(x²+x+1))² - (x+1/2)²) / (Rac(x²+x+1) + (x+1/2)) (Identitée remarquable a²-b²=(a+b)(a-b)).
=(3/4) / (Rac(x²+x+1)+(x+1/2))

Le dénominateur est positif en +infini. Comme 3/4 positif aussi, on a:
f(x)- (x+1/2)>0
Donc: f(x) > x+1/2

La courbe de f(x) est donc au-dessus de son asymptote y=x+1/2 en +infini.