Asymptote oblique : détermination

[Wolfchess]

Bonsoir,

j'ai un petit problème dans mon DM.

Il faut faire l'étude complète de ces 2 fonctions :

1) f(x) = (e^x + e^-x) / 2 (aussi appelé "cosinus hyperbolique de x")

2) f(x) = x.ln(x) - x

Lorsque j'essaie de déterminer s'il y a une asymptote oblique dans les 2 fonctions, ça se complique.

Pour la première fonction, en effectuant m = lim f(x)/x j'obtiens (e^x - e^-x) / 2 .
+/- infini
Pour le p = lim f(x)-mx j'arrive à "(e^x +e^-x)/2 - (e^x - e^-x)/2 " mais je ne vois comment aller plus loin...
+/- infini

La fonction est ci-contre : https://upload.wikimedia.org/wikipedia/ ... sh.svg.png

Je sais qu'il n'y a pas d'asymptote oblique pour cette fonction mais je ne vois pas comment le démontrer(algébriquement).

Pour la 2 ème fonction : en effectuant m = lim f(x)/x j'obtiens par la méthode du "guide et artifices"
+/- infini
m = ln(x) -1 . Est-ce juste?

Ensuite p= lim f(x) -mx <=> p=0
+/- infini
Donc AO≡y=mx+p <=> y= ln(x) -1 Juste?

Si jusque là c'est bon, lorsque je veux trouver l'écart afin de trouver ensuite la position de l'AO, j'obtiens,
ε= 0. Est-ce normal?

La 2 ème fonction est ci-contre : https://www.mathe-fa.de/fr.plot.png?uid ... 8.92468556
(dom R∗+ = {x ∈ R | x > 0} )


Merci d'avance pour votre aide
(PS: j'ai essayé d'expliquer en détail afin que vous sachiez de quoi je parle).

[pascal16]

f(x) = (e^x + e^-x) / 2
f(x)/x = (e^x + e^-x) / 2x
= (e^x)/ 2x + (e^-x) / 2x
en +oo
le premier terme tend vers +oo (croissances comparées polynomes vs exponentielle )
le second vers 0.
f(x)/x n'admet pas de limite (finie) en +oo.

[pascal16]

asymptote oblique, donc une droite
2 conditions
- > lim(f(x)/x) doit être une constante réelle, appelons a cette constante
- > lim(f(x)-ax) doit être constant, appelons b cette constante

la droite asymptote a alors pour équation y=ax+b.

si a=0, elle est horizontale, sinon, oblique.
si a existe mais b n'existe pas, on parle parfois de direction asymptotique.

pour la seconde fonction, lim(f(x)/x) existe-t-elle ?

[Wolfchess]

Merci pour votre réponse,

f(x) = (e^x + e^-x) / 2
f(x)/x = (e^x + e^-x) / 2x
= (e^x)/ 2x + (e^-x) / 2x
en +oo
le premier terme tend vers +oo (croissances comparées polynomes vs exponentielle )
le second vers 0.
f(x)/x n'admet pas de limite (finie) en +oo.

Donc je ne dois pas continuer après ?

Car pour : (e^x)/ 2x + (e^-x) / 2x j'avais obtenu le cas indéterminé "oo/oo" et lorsque j'ai voulu lever cette indétermination j'ai obtenu lim (e^x- e^-x)/2 = (e^x - e^-x)/2 (=m)
+/- infini
J'ai aussi un problème de compréhension dans cette situation = lorsque j'utilise la méthode du guide et artifices(puissances de x) , si j'ai "e^x" dois-je le garder en entier comme si c'était une puissance de x ou je dois le simplifier d'une manière ou d'une autre. (Par ex : lim 3x²+1/x = lim 3x²/x = oo mais si lim e^x /x
oo oo
je dois garder e^x/x tel quel?
ça n'a pas de sens de continuer mais je ne sais pas comment le prouver...



Pour la seconde fonction, je pense bien que la lim f(x)/x existe comme je l'ai écrit plus tôt.
J'obtiens AO≡y=mx+p <=> y= ln(x) -1 . Je me suis peut être trompé lorsque j'effectuais m= limf(x)/x de cette fonction . Je ne sais pas... oo

[pascal16]

f(x)/x = (e^x + e^-x) / (2x)
f(100)/100 ≃ 10^41
f(500)/500 ≃ 10^214
f(1000)/1000 ≃ dépassement de capacité.

est-ce que f(x)/x te semble tendre en +oo vers une constante ?

Comment tu as levé l'indéterminée ?
f(x)/x = (e^x + e^-x) / (2x)
si tu utilises l'Hospital, tu as (e^x - e^-x) / (2) qui tend très grossièrement vers +oo.

[Black Jack]

Salut,

si lim(x--> +oo) f(x)/x = +oo ou -oo, alors il n'y a pas d'asymptote oblique en +oo

si lim(x--> -oo) f(x)/x = +oo ou -oo, alors il n'y a pas d'asymptote oblique en -oo
****************
Si et seulement si m = lim(x--> +oo) (f(x)/x) existe, alors on calcule p = lim(x--> +oo) (f(x) - m.x), et l'équation de l'asymptote oblique en +oo est y = mx + p

Si et seulement si m = lim(x--> -oo) (f(x)/x) existe, alors on calcule p = lim(x--> -oo) (f(x) - m.x), et l'équation de l'asymptote oblique en -oo est y = mx + p
****************


Avec f(x) = (e^x + e^-x)/2 :

lim(x--> +oo) f(x)/x = lim(x--> +oo) (e^x + e^-x)/(2x) = +oo --> pas d'asymptote oblique en +oo
lim(x--> -oo) f(x)/x = lim(x--> -oo) (e^x + e^-x)/(2x) = -oo --> pas d'asymptote oblique en -oo

Et donc pas d'asymptote oblique.
*********
Avec f(x) = x.ln(x) - x

Df : x > 0 --> seulement chercher l'asymptote oblique éventuelle en +oo

lim(x--> +oo) f(x)/x = lim(x--> +oo) (ln(x)-1) = +oo --> pas d'asymptote oblique.
********

Remarque :

On devrait ici plutôt parler de droites asymptotes et pas simplement d'asymptotes, mais c'est une autre histoire.