C: aspect trigonométrique, complexe.

[Brick*TOP*]

Bonjour à toutes et à tous, :we:

Alors, j'ai un p'tit souci concernant ce QCM, je suis bloqué en
réalité. Je ne vois pas comment arriver aux résultats qu'ils nous
donnent dans l'énoncé. Donc, si vous pouviez me souffler vos
idées concernant ces réponses, vous seriez bien aimable.

Donc, pour chaque question, une seule des 4 propositions est
éxacte. Et aucune justification n'est demandée.

1) Soit z appartient à l'ensemble C, vérifiant z+|z|=6+2i. L'écriture
alébrique de z est:
a) 8/3 - 2i
b) - 8/3 - 2i
c) 8/3 + 2i

2) Dans le plan complexe, l'ensemble des points M d'affixe z = x+iy
vérifiant |z-1|=|z+i| est la droite d'équation:
a) y = x-1
b) y = -x
c) y = -x+1
d) y = x

3) Soit n, un entier naturel. Le nombre (1+ (racine ²)3) exposant n,
est réel si, et seulement si, n s'écrit sous la forme:
a) 3k+1
b) 3k+2
c) 3k
d) 6k

4) Soit l'équation (E):z = (6-z)/(3-z) avec z appartenant à C. Une
solution de (E) est:
a) -2 -(Racine ²)2(i)
b) 2 +(Racine ²)2(i)
c) 1-i
d) -1-i

5) Soit deux points A et B, d'affixes respectives, z(A) = i et z(B) = (racine ²)3
dans un repère orthonormal (0; vecteur U, vecteur V).
L'affixe z(C) du point C, tel que ABC soit un triangle équilatéral avec:
(vecteur AB, vecteur AC) = Pi/3 est:
a) -i
b) 2i
c) (racine ²)3 + i
d) (racine ²)3 + 2i

6) Dans le plan complexe, l'ensemble des points M d'affixe z=x+iy vérifiant
la relation arg[(z+2)/(z-2i)]= "Pi"/2 est inclus dans:
a) La droite d'équation y= -x
b) Le cercle de centre I(1+i) et de rayon R=(racine ²)2
c) La droite d'équation y=x
d) Le cercle de diamètre [AB], A et B étant les points d'affixe respectives,
z(A)= (-2) et z(B)=2i


Voilà mon QCM, certe un peu long, je l'admet.
Merci de bien vouloir m'aider, ça sera "sympa".
Je vous en remercie d'avance.

Bonne journée et bonne continuation,
La "Brick".

[tigri]

pour1)
tu peux remarquer que les 3 réponses qu'on te propose ont le même module
en le remplaçant dans l'équation imposée tu trouveras z

[tigri]

pour2)
si tu raisonnes d'un point de vue géométrique, tu recherches l'ensemble des M(z) tels que MA=MB avec A(1) et B(-i)
ce qui te fait reconnaître la médiatrice du segment AB
fais un schéma et tu trouveras facilement l'équation de cette médiatrice

[tigri]

pour 4)
tu fais le produit en croix, pour te ramener à une équation du second degré à inconnue complexe, tu la résous et tu verras que l'une des solutions est dans la liste proposée

[becirj]

Bonjour à toutes et à tous, :we:

1) Soit z appartient à l'ensemble C, vérifiant z+|z|=6+2i. L'écriture
alébrique de z est:
a) 8/3 - 2i
b) - 8/3 - 2i
c) 8/3 + 2i

Ces 3 complexes ont le même module que l'on peut calculer. Il suffit alors de vérifier quel est celui qui convient

2) Dans le plan complexe, l'ensemble des points M d'affixe z = x+iy
vérifiant |z-1|=|z+i| est la droite d'équation:
a) y = x-1
b) y = -x
c) y = -x+1
d) y = x

Soient les points A d'affixe 1 et B d'affixe (-i).
;
L'ensemble est la médiatrice de [AB]

3) Soit n, un entier naturel. Le nombre (1+ (racine )3) exposant n,
est réel si, et seulement si, n s'écrit sous la forme:
a) 3k+1
b) 3k+2
c) 3k
d) 6k

Je pense que c'est
Le nombre a pour module 2, le cosinus de son argument est et le sinus est , il a donc pour argument .
Donc a pour argument
Ce nombre est réel si il a pour argument 0 modulo donc si . Il n'y a plus qu'à conclure.

4) Soit l'équation (E):z = (6-z)/(3-z) avec z appartenant à C. Une
solution de (E) est:
a) -2 -(Racine )2(i)
b) 2 +(Racine )2(i)
c) 1-i
d) -1-i

Le plus simple est de multiplier les 2 membres par (3-z), on a alors une équation du second degré à résoudre.

5) Soit deux points A et B, d'affixes respectives, z(A) = i et z(B) = (racine )3
dans un repère orthonormal (0; vecteur U, vecteur V).
L'affixe z(C) du point C, tel que ABC soit un triangle équilatéral avec:
(vecteur AB, vecteur AC) = Pi/3 est:
a) -i
b) 2i
c) (racine )3 + i
d) (racine )3 + 2i

Dans le cadre d'un QCM, un figure peut permettre de vérifier mais plus savamment C est l'image de B dans la rotation de centre A , d'angle ce qui se traduit par :

IL ne reste plus qu'à faire le calcul.

6) Dans le plan complexe, l'ensemble des points M d'affixe z=x+iy vérifiant
la relation arg[(z+2)/(z-2i)]= "Pi"/2 est inclus dans:
a) La droite d'équation y= -x
b) Le cercle de centre I(1+i) et de rayon R=(racine )2
c) La droite d'équation y=x
d) Le cercle de diamètre [AB], A et B étant les points d'affixe respectives,
z(A)= (-2) et z(B)=2i

Si l'argument est égal à , les vecteurs et sont orthogonaux.

[tigri]

pour 5)
tu peux penser que C doit être l'image de B par la rotation de centre A et d'angle pi/3, donc en écrivant ce que çà veut dire pour les affixes, tu trouveras l'affixe de C

[Brick*TOP*]

Alors, pour les 2 premières, ça va, j'le fais là.
La 3, par contre, je suis un peu à l'ouest, tu peux
être un peu plus précis. :briques:
Je ne comprend pas "vraiment".
Le 4, 5, et 6, ça devrait aller. Merci.

Merci pour vos "lumières".

Bonne continuation, et bonne journée.
La "Brick".
:zen:

[rene38]

1) Soit z appartient à l'ensemble C, vérifiant z+|z|=6+2i. L'écriture
algébrique de z est:
a) 8/3 - 2i
b) - 8/3 - 2i
c) 8/3 + 2i

|z| est un réel donc Im(z)=Im(z+|z|)=+2 et donc ...

[tigri]

pour le 3)
le nombre dque tu proposes (1+rac carrée de3)^n est bien tjrs réel !!!! ne manquerait-il pas un i quelque part???

[tigri]

la réponse de becijr est correcte ; tu termines par n= 3k

[tigri]

pour bien comprendre il faut penser à écrire ce nombre (1+i rac car de3) sous forme trigonométrique, puis trouver celle de sa puissance n (formule de Moivre, si tu vois)
un argument étant nfois pi/3, cela donne un réel si le point image est sur l'axe des réels : donc arg = 0+k fois pi d'où l'égalité qu'on t'a donnée, et donc la fin n=3k