J'arrive pas à résoudre cet exercice

[Lehyeni]

[Yuki91]

bonjour.
Tu as fait quelque chose ?

[Lehyeni]

en fait j'ai pas parvenu a le résoudre

[Lehyeni]

bonjour.
Tu as fait quelque chose ?

en fait j'ai pa parvenu a le résoudre

[Yuki91]

Ok. Pour la question tu as essayer de faire comment ?

[Lehyeni]

Ok. Pour la question tu as essayer de faire comment ?

bon mon probleme consiste au 2ème question

[Lehyeni]

svp aidez moi

[Lehyeni]

je vous attends encore

[Ericovitchi]

Bon le début n'est pas dur, tu effectues mécaniquement les produits xyz et x+y+z+2 en réduisant au même dénominateur. on trouve assez facilement l'égalité.
Après effectivement ça se complique car il te faut montrer que MA/MA' est effectivement dans le rapport x = (a+b)/c, et idem pour les autres

[Ericovitchi]

Cette belle égalité est encore dû à notre grand maître Euler. Je doute que tu trouves parce que c'est assez difficile.

Je te donne les grandes lignes :
La démonstration est basée sur ce qu'on appelle le "principe de l'aire" : deux triangles ayant même base ont des aires proportionnelles à leur hauteur.
Posons Aire (ABC) = A
Aire (COB) = p ; Aire (AOC) = q ; Aire (BOA) = r

On a AO/OA' = Aire (ABO)/ Aire (OBA') = Aire (ACO) / Aire (OCA') =
(Aire (AOB)+Aire (ACO)) /(Aire (OBA') + Aire (OCA') = (q+r)/p

(en effet, les triangles AOB et OBA' ont une hauteur commune ainsi que les triangles ACO et OCA')

De la même façon on obtient BO/OB' = (r+p) / q
et CO/OC' = (p+q)/r

Calculons (AO/OA').(BO/OB').(CO/OC') = ((q+r)/p).(r+p)/q).((p+q)/r)
= (q^2.r+r^2.q+r^2.p+p^2.r+p^2.q+q^2p+2.p.q.r) / p.q.r
= (q+r)/p + (r+p)/q+ (p+q)/r + 2 = AO/OA' + BO/OB' + CO / OC' + 2

Et voilà.

Euler a trouvé ça en 1780. Pas évident non !