Armée de Han Xing

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On souhaite résoudre le problème suivant: Combien l'armée de Han Xing comporte-t-elle de soldats, si rangés par 3 colonnes, il reste deux soldats, rangés par 5 colonnes, il reste trois soldats et, rangés par 7 colonnes, il reste deux soldats?

1) En notant n le nombre de soldats de l'armée de Han Xing, traduire l'énoncé à l'aide de congruences.
2) a) Justifier que 5*7 et 3 sont premiers entre eux.
b) Déterminer un multiple m1 de 35, tel que m1 congru à 1 modulo 3.
c) Déterminer de manière analogue m2 et m3 multiples respectifs de 3*7 et 3*5 tels que : m2 congru à 1 modulo 5 et m3 congru à 1 modulo 7.
3) Montrer que n0 = 2m1 + 3m2 + 2m3 est solution du problème.
4) Soit k une autre solution du problème.
a) Montrer que n0 - k est divisible par 105.
b) En déduire l'ensemble des solutions du problème.
c) Déterminer n en supposant que l'armée de Han Xing comptait entre 7000 et 7100 soldats.
5) Résoudre de manière analogue le problème suivant. Qu'il distribue les cartes par 2, par 3 ou par 5, il lui manque toujours une carte pour finir. Combien a-t-il de cartes sachant que ce nombre est compris entre 60 et 100?

J'ai fait la question 1 et 2a mais pour le reste j'ai du mal :/ Merci de votre aide !

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On souhaite résoudre le problème suivant: Combien l'armée de Han Xing comporte-t-elle de soldats, si rangés par 3 colonnes, il reste deux soldats, rangés par 5 colonnes, il reste trois soldats et, rangés par 7 colonnes, il reste deux soldats?

1) En notant n le nombre de soldats de l'armée de Han Xing, traduire l'énoncé à l'aide de congruences.
2) a) Justifier que 5*7 et 3 sont premiers entre eux.
b) Déterminer un multiple m1 de 35, tel que m1 congru à 1 modulo 3.
c) Déterminer de manière analogue m2 et m3 multiples respectifs de 3*7 et 3*5 tels que : m2 congru à 1 modulo 5 et m3 congru à 1 modulo 7.
3) Montrer que n0 = 2m1 + 3m2 + 2m3 est solution du problème.
4) Soit k une autre solution du problème.
a) Montrer que n0 - k est divisible par 105.
b) En déduire l'ensemble des solutions du problème.
c) Déterminer n en supposant que l'armée de Han Xing comptait entre 7000 et 7100 soldats.
5) Résoudre de manière analogue le problème suivant. Qu'il distribue les cartes par 2, par 3 ou par 5, il lui manque toujours une carte pour finir. Combien a-t-il de cartes sachant que ce nombre est compris entre 60 et 100?

J'ai fait la question 1 et 2a mais pour le reste j'ai du mal :/ Merci de votre aide !

Pour la 2b : 35 = 3*11+2 (division euclidienne de 35 par 3)
donc 35 = 2 (mod 3)
35*2 = 2*2 (mod 3) (propriétés des modulos)
70 = 4 (mod 3)
Or 4=1 (mod 3)
Donc 70 = 1 (mod 3)

Méthode 2 : 70 = 23*3 + 1 donc 70 = 1 (mod 3)

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Pour la 2b : 35 = 3*11+2 (division euclidienne de 35 par 3)
donc 35 = 2 (mod 3)
35*2 = 2*2 (mod 3) (propriétés des modulos)
70 = 4 (mod 3)
Or 4=1 (mod 3)
Donc 70 = 1 (mod 3)

Méthode 2 : 70 = 23*3 + 1 donc 70 = 1 (mod 3)

Merci beaucoup, je comprends maintenant !

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Pour m2, j'ai trouvé 21*6 soit 126, mais je ne sais pas si c'est ça ..

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Pour m2, j'ai trouvé 21*6 soit 126, mais je ne sais pas si c'est ça ..

Moi non plus, sans les étapes intermédiaires, je ne peux pas te dire si tu as bon :triste:

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Moi non plus, sans les étapes intermédiaires, je ne peux pas te dire si tu as bon :triste:

m2=21k
21=5*4+1 donc 21=1 [5], 21*2=2 [5] ... 21*6=6[5] or 6=1 [5] donc 21*6 soit 126=1 [5]

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J'ai réussi pour m3 aussi je pense.
Pour la 3, il faut utiliser les congruences je pense d'au-dessus mais je ne sais pas si on se sert des multiples que l'on a trouver car on ne sait pas ce que vaut n0 après tout.. Je vais réfléchir.

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Si on fait 2*70+3*126+2*120 avec les résultats qu'on a trouvé avant on trouve 758 soldats mais je ne sais pas si il faut faire comme ça.

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m2=21k
21=5*4+1 donc 21=1 [5], 21*2=2 [5] ... 21*6=6[5] or 6=1 [5] donc 21*6 soit 126=1 [5]

Est-ce que 21 ne conviendrait pas ?

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Est-ce que 21 ne conviendrait pas ?

Mais ce n'est pas un multiple de 3*7 ..

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Mais ce n'est pas un multiple de 3*7 ..

21 n'est pas un multiple de 3*7 ?

21 n'est pas un multiple de 21 ? Il faut revoir la définition d'un multiple

Les multiples de n sont les nombres s'écrivant k*n, avec k dans Z.

Les multiples de 5 sont : ..., -15, -10, -5, 5, 10, 15, ...

Les multiples de 21 sont : ...

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21 n'est pas un multiple de 3*7 ?

21 n'est pas un multiple de 21 ? Il faut revoir la définition d'un multiple

Les multiples de n sont les nombres s'écrivant k*n, avec k dans Z.

Les multiples de 5 sont : ..., -15, -10, -5, 5, 10, 15, ...

Les multiples de 21 sont : ...

Ça ne fonctionne pas si je garde 126 pour la suite ? :/