Arithmétique-Techniques de congruences

[lapras]

Bonsoir,
je suis en train de lire un cour en arithmétique qui donne des techniques pour résoudre des équations diophantiennes.

Ils disent :
Lorsque l’on fait la liste des carrés modulo un nombre premier p, l’egalité x² = (;) x)² entraîne que l’on ne pourra pas obtenir tous les restes possibles. En réalité, on en obtient exactement (p ;) 1)/2.
Lorsque l’on a des puissances n-i`emes qui apparaissent (disons
avec n impair), cet argument ne fonctionne plus. Par contre, il reste vrai que de nombreux restes ne sont pas des puissances n-i`eme lorsque le modulo p est un nombre premier congru `a 1 modulo n. Cette remarque est on ne peut plus interessante lorsque l’equation fait intervenir deux types de puissances : par exemple, si on a un terme en x² et un en y^3 , on pourrait etre tenté de regarder modulo 7.


je ne comprend pas le deuxieme paragraphe, pourriez vous m'expliquez ?
En exemple,
pour démontrer que l'équation x^2 = y^5 - 4, ils utilisent les congruences modulo 11, pourquoi ?

merci ! :happy2:

[emdro]

Lorsque l’on a des puissances n-i`emes qui apparaissent (disons avec n impair), cet argument ne fonctionne plus. Par contre, il reste vrai que de nombreux restes ne sont pas des puissances n-i`eme lorsque le modulo p est un nombre premier congru `a 1 modulo n. Cette remarque est on ne peut plus interessante lorsque l’equation fait intervenir deux types de puissances :

J'ai surligné la phrase importante. c'est mal dit, mais ils conseillent de travailler modulo un nombre premier p, vérifiant p congru à 1 modulo n.

par exemple, si on a un terme en x² et un en y^3 , on pourrait etre tenté de regarder modulo 7.

ici, ils choisissent un nombre premier congru à 1 modulo 3 : 7

pour démontrer que l'équation x^2 = y^5 - 4, ils utilisent les congruences modulo 11, pourquoi ?

là, ils prennent un nombre premier congru à 1 modulo 5 : 11

Après, si tu cherches à savoir pourquoi, tu peux peut-être repenser au petit théorème de Fermat: lorsque p est premier.

[lapras]

Oui emdro, en fait je" cherche à savoir pourquoi
par exemple, dans x^2 = y^5 - 4
on se place modulo 11
je ne vois justement pas le rapport avec le petit théoreme de fermat.
Parce qu'ils parlent de
p = 1 [n]

Merci d'avance

[emdro]

Eh bien parce que pour a non nul, d'après Fermat,.
Donc .
Et tu n'as plus beaucoup de choix pour : juste 1 ou -1.
Donc on réduit considérablement le nombre de cas à étudier.

Ca va mieux?

[lapras]

Oui ca va beaucoup mieux, c'était évident en fait !
Merci bcp emdro !