Arithmétique...

par **lapras** » 03 Sep 2007, 11:50

Bonjour, j'aimerais avoir un indice sur cet exercice :
"Montrer que le produit de 3 entiers consécutifs ne peut pas s'écrire sous la forme de a^n avec n>2"

J'sais pas pourquoi, mais j'ai du mal a démarrer en arithmétique...

Merci d'avance

par **BiZi** » 03 Sep 2007, 12:13

Bonjour,

Montre d'abord que deux au moins de ces entiers sont alors des puissances n-ième.
Mais ca m'étonnerait que ce soit un exo de Terminale (plus un exo d'oral des Mines ou de ce genre à mon avis^^)

EDIT: j'ai dit quelques grosses bêtises dans mon message d'origine donc j'ai corrigé :briques:

par **lapras** » 03 Sep 2007, 13:58

salut,
ces exercices proviennent d'un ami qui a été a un stage de maths.
peut etre ce sont des exos d'olympiades !
Donc ces entiers successifs sont premiers entre eux.
Le produit est forcément pair, mais bons je vois pas a quoi cela sert...
Montrer qu'au moins deux sont des puissances n-ieme d'un noombre ?
Ca nous sert a quoi ?
Je vois pas trop comment montrer que a, a+1 ou a+2 sont des puissances nieme. :hein:

par **Joker62** » 03 Sep 2007, 14:01

Le 'a' que tu utilises c'est le même que le a^n (n>2) à la fin ?

par **lapras** » 03 Sep 2007, 14:04

Non c'est un entier pris au hasard.

par **Flodelarab** » 03 Sep 2007, 14:10

lapras a écrit:"Montrer que le produit de 3 entiers consécutifs ne peut pas s'écrire sous la forme de a^n avec n>2"

Bizarrement, j'arrive à montrer l'inverse:

0, 1, 2 -> 0*1*2=0=0^76=0^23 ............

par **lapras** » 03 Sep 2007, 14:12

Bizarre !
Mais peut etre voulait il parler des entiers non nul !

par **Joker62** » 03 Sep 2007, 14:14

Faut faire attention à ce qu'on écrit...
Et aux lettres que l'on utilise, rien que le a que tu as utilisé à mis un doute dans l'énoncé.

par **Nightmare** » 03 Sep 2007, 14:14

Salut :happy3:

J'avais déjà fait cet exercice il me semble.

On peut montrer que pgcd(n,n²-1)=1. Si (n²-1)n est une puissance d'un entier, alors n²-1 et n sont eux même des puissances.

On peut aboutir à une contradiction.

par **lapras** » 03 Sep 2007, 14:20

Salut nightmare,
Il est immédiat que n²-1 et n sont premiers entre eux puisque (n²-1)=(n-1)(n+1) or n ne divise ni (n-1) ni (n+1) donc PGCD(n²-1 ; n ) = 1
Mais comment démontrer que n(n²-1) est une puissance ? :mur:

par **Nightmare** » 03 Sep 2007, 14:37

Puisque n et n²-1 sont premiers entre eux, ils n'ont aucun facteurs premiers commun, donc si leur produit est un epuissance parfaite, en utilisant leur décomposition en éléments premiers, on montre facilement que ce sont eux même des puissances.

par **lapras** » 03 Sep 2007, 14:42

Encore faut il prouver que n^3 - n est une puissance parfaite (c'est a dire une puissance d'un nombre ?)

par **BiZi** » 03 Sep 2007, 14:47

lapras a écrit:salut,
ces exercices proviennent d'un ami qui a été a un stage de maths.
peut etre ce sont des exos d'olympiades !
Donc ces entiers successifs sont premiers entre eux.
Le produit est forcément pair, mais bons je vois pas a quoi cela sert...
Montrer qu'au moins deux sont des puissances n-ieme d'un noombre ?
Ca nous sert a quoi ?
Je vois pas trop comment montrer que a, a+1 ou a+2 sont des puissances nieme. :hein:

Pour l'utilité: a et a+1 ne peuvent jamais être tous les deux des puissance n-ièmes! (pour a entier>0 soyons rigoureux comme nous l'a si bien rappelé notre ami Joker :we: ) Je te laisse trouver pourquoi, c'est assez simple.
Pour le montrer, considère un nombre premier divisant a par exemple, et montre que nécessairement

divise a. Cela suffira pour montrer que a est une puissance n-ième, je te laisse voir pourquoi.

par **Nightmare** » 03 Sep 2007, 14:48

Lapras : C'est l'hypothèse...

par **lapras** » 03 Sep 2007, 14:54

Bizi, qu'entends tu par : "puissance nieme ?"
Nightmare : si je comprend bien, on part de l'hypothese que (n²-1)*n = a^n et on trouuve un probleme ?
Je dois y aller la, a ce soir

par **Flodelarab** » 03 Sep 2007, 14:56

Amis arithméticiens, qqun aurait il une idée sur cette question
(pardon, ça n'a pas de rapport avec le sujet)

par **Joker62** » 03 Sep 2007, 14:56

Mais la puissance c'est pas le même 'n' !
Enfin moi j'ai pas compris l'énoncé comme ça...

par **BiZi** » 03 Sep 2007, 15:20

Joker62 a écrit:Mais la puissance c'est pas le même 'n' !
Enfin moi j'ai pas compris l'énoncé comme ça...

Et moi j'ai pas compris ta question :ptdr: Bah pour clarifier ce que je veux dire:
Soient a,b deux entiers strictement positifs, n>1 tels que
a(a+1)(a+2)=

Soit p tel que p divise a. On a alors................................
.............................................................................
Donc

divise a. Donc si

est la décomposition en facteurs premiers de a, on a nécessairement

. On a donc

qui est bien une puissance n-ième.

par **lapras** » 03 Sep 2007, 18:57

Mince c'est demain la rentrée je dois finir cet exercice captivant avant d'etre pris pas les autres matieres.
Je n'ai pas tres bien compris ce que je dois faire Nightmare, je ne suis pas bon en arithmétique. (d'un coté j'ai jamais eu de cours) :--:

par **lapras** » 03 Sep 2007, 19:58

J'ai réfléchi à ça :
Si n*(n²-1) = a^p
avec a un entier strictement positifs.
Donc n et n²-1 sont des puissances de a
par exemple a^6 = a^4 * a^2
or n et n²-1 sont premiers entres eux, or ce sont des puissances de a, donc l'un divise l'autre, contradiction, donc n*(n²-1) différent de a^p
or n(n²*1) = (n-1)n(n+1) = produit de trois entiers consécutifs

C'est le bon raisonnement ?

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