Arithmétique...

[BiZi]

J'ai réfléchi à ça :
Si n*(n²-1) = a^p
avec a un entier strictement positifs.
Donc n et n²-1 sont des puissances de a

Quelle est ta justification?

[lapras]

Mais en fait je suis parti de l'hypothese que n(n²-1) = a^p
donc il est imm&diat que n et n²-1 sont des puissances de a, non ?
c'est un raisonnement par l'asburde que j'essaye de faire.

[BiZi]

Mais en fait je suis parti de l'hypothese que n(n²-1) = a^p
donc il est imm&diat que n et n²-1 sont des puissances de a, non ?
c'est un raisonnement par l'asburde que j'essaye de faire.

Non ca c'est faux. Comme l'a dit Nightmare, il faut regarder du côté de la décomposition en facteurs premiers. C'est un peu lourd à rédiger mais c'est le raisonnement est simple. Le but est de montrer que n et n²-1 sont des puissances n-ièmes (ou parfaites si tu préfères). Mais ce ne sont pas nécessairement des puissances de a!

[lapras]

BiZi, si j'ai bien compris, ce que j'ai considéré comme évident, à savoir que n et n²-1 étaient des puissances de a, il faut le démontrer ?

[BiZi]

BiZi, si j'ai bien compris, ce que j'ai considéré comme évident, à savoir que n et n²-1 étaient des puissances de a, il faut le démontrer ?

Non, désolé je m'aperçois que je me suis horriblement mal exprimé dans ce sujet et que j'ai dit pas mal de bêtises. Mais l'implication:

(bc puissance de a avec b et c premiers entre eux)->(b et c puissances de a)
est fausse. Contre-exemple: a=6, b=4, c=9, n=2.

Il faut distinguer le fait d'être une puissance parfaite et le fait d'être une puissance de a: une puissance parfaite, c'est un entier a tel qu'il existe n>1, b tel que . b est ici un entier quelconque, alors qu'une puissance de a, bin l'entier ca doit être a et pas un autre.

EDIT: c'est bien sûr b et c premiers entre eux et pas a et b!

[lapras]

Ok j'ai compris mon erreur, mais dis moi, je dois trouver un entier b tel que n et (n²-1) sont des puissances d'un entier b ? Et apres montrer que ce ne sont pas des puissances de a, donc trouver une contradiction ?

[BiZi]

Ok j'ai compris mon erreur, mais dis moi, je dois trouver un entier b tel que n et (n²-1) sont des puissances d'un entier b ?

Applique la définition! Il s'agit de montrer que n est une puissance entière, donc s'écrit sous la forme n=, et que n²-1 s'écrit n²-1=. Mais b et c peuvent être différents!

Et apres montrer que ce ne sont pas des puissances de a, donc trouver une contradiction ?

Mais ce ne sont pas forcément des puissances de a! Je crois que tu t'embrouilles dans ton raisonnement par l'absurde: on a une égalité:


Il s'agit de trouver une contradiction. Il n'est pas impossible que b et c soient des puissances de a, ca on en sait rien. Ce n'est pas en tout cas une condition nécessaire.

[BiZi]

Ok j'ai compris mon erreur, mais dis moi, je dois trouver un entier b tel que n et (n²-1) sont des puissances d'un entier b ? Et apres montrer que ce ne sont pas des puissances de a, donc trouver une contradiction ?

Applique la définition! Il s'agit de montrer que n est une puissance entière, donc s'écrit sous la forme n=, et que n²-1 s'écrit n²-1=. Mais b et c peuvent être différents!

[lapras]

Mais je ne vois pas quelle contradiction trouver au fait que bc = a^p :cry:
(et merdeuh, l'arithmétique ca me décourage)

[Nightmare]

Tu as compris ce qu'était la décomposition en facteur premier?

[lapras]

Bah oui normalement, une décomposition en facteur premier c'est de la forme de p1^n*p2^n1*p3^n2 .....
Les pi sont des entiers

[Nightmare]

Bon.

Tu es d'accord que pour qu'un nombre soit une p-puissance parfaite, il faut que les exposants de ses facteurs premiers sont des multiples de p ?

On note la décomposition de b.
et
La décomposition de c . (On peut supposer que b est plus grand que c ou l'inverse)

Comme b et c sont copremiers :


sans simplification possible.

Donc pour que bc soit une p-puissance parfaite, il faut que les bi et ci soient tous des multiples de p et donc finalement b et c sont eux même des p-puissances parfaites.

[lapras]

Ok nightmare donc en fait l'absurdité :

bc ne peut etre une p-puissance parfaite que si b et c sont eux meme des p-puissances parfaites or b et c sont premiers entre eux donc c'est impossible, donc pas possible donc n(n-1)(n+1) ne s'écrit pas sous la forme de a^p.
c'est ca?

[Nightmare]

Non, ça n'a pas de sens ce que tu dis :

bc ne peut etre une p-puissance parfaite que si b et c sont eux meme des p-puissances parfaites or b et c sont premiers entre eux donc c'est impossible

C'est parce que b et c sont premiers entre eux que b et c sont des p-puissances parfaites !

[lapras]

Ok c'est bon j'ai compris l'erreur, donc si je résume, b et c doivent impérativement etre de p puissance parfaites pour que bc=a^p
Mais alors y'a pas de contradiction :mur:

[Nightmare]

Ben il faut montrer que n et n²-1 ne peuvent pas être des p-puissances simultanément.

[lapras]

Oué.
Donc on considere n=a^p et donc n²-1 = (a^p - 1)(a^p+1)
comme a^p-1 et a^p+1 sont premiers entre eux, pour que n²-1 soit une p-puissance, alors a^p-1 doit etre une p-puissance ainsi que a^p+1 or c'est impossible.
donc contradiction ?

[Nightmare]

"a^p-1 et a^p+1 sont premiers entre eux" Ah bon? C'est vrai seulement si a=2.

[lapras]

Je commence a etre fatigué, excuse moi...

[lapras]

Mais en fait a^p-1 et a^p+1 ne peuvent ni l'un ni l'autre etre des p puissances pour p>2.
Démontrable avec l'identité remarquable a^n-b^n ?
donc n²-1 ne peut etre une p-puissance