Arithmétique

[DuponttTom]

Bonjour! J’aurais besoin d’aide pour savoir si ces deux affirmations sont vraies ou fausses, en les démontrant, j’ai déjà essayé beaucoup de choses mais je pédale dans la semoule en revenant toujours au point de départ:

1ère affirmation: « a, b et e étant des entiers, si a est un diviseur du produit be, alors a divise au moins l’un des deux facteurs b ou e. »

2ème affirmation: « Pour tout entier naturel n pair, l’entier n^2(n+4) est un multiple 8 ».

Merci d’avance!

[hdci]

Bonjour,

Première affirmation : qu'en pensez-vous, cela peut-il être vrai ? Ou bien pouvez-vous trouver un contre-exemple facilement ?

Seconde affirmation : si n est pair, que peut-on dire de n+4 ? et de n^2 (c'est-à-dire, divisible par combien ) ? Par suite, de (n+4)n^2 ?

[DuponttTom]

Pour la première affirmation, il est difficile de trouver un contre exemple ( du moins je n’en ai pas trouvé), or cela prouve il vraiment l’affirmation?

Pour la deuxième, on pourra dire que n+4 et n^2 seront divisibles par 2 si n est pair, n^2(n+4) le sera donc aussi, mais comment prouver la divisibilité par 8?

[hdci]

Première affirmation : évidemment le fait qu'on ne trouve pas de contre-exemple ne prouve rien, mais si j'ai indiqué cela c'st que justement il est facile de trouver un contre-exemple.

Prenez un nombre a constitué du produit de deux facteurs premiers.
Prenez ensuite b multiple du premier facteur premier, et e multiple du second facteur premier.
Qu'obtenez-vous ?
Application : 4 divise...

Seconde affirmation :

Prenons par exemple 6 : il est divisible par 2. Son carré est 36 : n'est-il divisible "que" par 2 ?

Prenons trois nombre pairs, on les multiplie : certes le résultat est pair, mais encore ? (2 fois 2 fois 2...)

[DuponttTom]

Pour la première, j’ai réussi à trouver: prenons a=21, b=7 et e=3

7x3=21 , a divise donc be

Or a=21 ne divise ni 7 ni 3!

Pour la deuxième, j’avoue que j’ai un peu plus de mal... je sais que 2x2x2=8 mais je peine à le lier à l’affirmation...

[DuponttTom]

Je crois que j’ai finalement trouvé!

Si cela ne fonctionne qu’avec des pairs, on peut écrire (2k)^2(2k+4), alors en développant on obtient 8k^3+16k^2, or 8 et 16 sont des multiples de 8: nous ne pouvons donc que tomber sur des multiples de 8!

Si vous pouvez me confirmer si cela fonctionne, cela serait super, merci!

[mathelot]

oui,ça marche

[DuponttTom]

Super, merci beaucoup!