Arithmétique

[emilie943]

Bonjour
Soient p ∈ ℕ et q ∈ ℕ tels que p divise q. Démontrer que divise
Comment puis-je faire ?

[emilie943]

Soient p ∈ ℕ et q ∈ ℕ tels que p divise q. Démontrer que divise
2. Soient a ∈ ℕ et b ∈ ℕ tels que a ≤ b. Démontrer que divise
3. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier n ≥ 0, n + 1 ≤
b. En déduire que pour tout entier n ≥ divise
4. On pose pour tout entier n ≥ 0, Fn =
Démontrer que Fn divise

[Rdvn]

Bonjour
p>0,q>0
p divise q, donc il existe h entier, h>o
q=p.h
2^q-1=(2^p)^h-1^h
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/ ... vanmbn.htm

Bon courage

[Rdvn]

Le lien en rouge permet de conclure suite à ma première indication :
propriété de a^n-b^n

[emilie943]

pour la question 2 est ce que divise parce que et que donc et que les puissances de sont divisible entre elles

[Rdvn]

2^b=(2^a).( 2^(b-a) )
sachant 0<2^a , on est bien dans les conditions de la question 1 avec p=2^a et q=2^b

[capitaine nuggets]

Salut !

Supposons que divise ; alors est un entier.
Pour la question 1, je considère la suite géométrique définie pour tout entier naturel par . En exprimant la somme des premiers termes de la suite géométrique , montre qu'en fait on a .

[emilie943]

2^b=(2^a).( 2^(b-a) )
sachant 0<2^a , on est bien dans les conditions de la question 1 avec p=2^a et q=2^b

On pose et comme, on est dans le mêmes conditions que dans la question 1
si divise alors divise
donc
donc

[Rdvn]

Tout cela est bien compliqué .
La solution que je vous propose c'est tout simplement :
(2^a).(2^(b-a))=2^(a+b-a)=2^b
et donc 2^a divise 2^b
il n'y a rien de plus à justifier :
sachant 2^a>0 , 2^b>0 on applique la question 1
Je reviens sur la question 1 :
en terminale maths expertes, l'égalité que j'avais utilisée (lien en rouge) est au programme
sous forme z^n-a^n .
Ou bien vous pouvez utiliser la solution de capitaine nuggets, comme vous voulez.
Proposez vos essais

[emilie943]

ah d'accord j'ai compris ensuite on pose p=2^a et q=2^b et on peut conclure avec la question 1

[emilie943]

pourriez vous me donner quelques pistes pour la question 4 s'il vous plait ?

[emilie943]

4. On pose pour tout entier n ≥ 0, Fn =
Démontrer que Fn divise

[Rdvn]

Pour p=2^a et q=2^b c'est bien cela (d'ailleurs déjà suggéré)
Pour le reste : tout à l'heure (je n'ai pas le temps pour l'instant)

[Rdvn]

Êtes vous bien sure de votre énoncé ?
Fn n'est pas la mème chose dans l'énoncé initial et la dernière demande ...("+1 " est apparu...)
Je n'ai pas le temps pour le moment ...

[Rdvn]

Non en fait +1 a changé de place, vérifiez la question posée

[Rdvn]

Finalement j'ai réussi à trouver 5 mn,
mais j'ai du mal à écrire proprement les cascades d'exposants, et les indices.

A montrer :
Fn=2^(2^n)+1 divise (2^Fn)-2

1) 2^(2^(n+1))-1=2^(2(2^n))-1=(2^(2^n))^2-1=(2^(2^n)+1).(2^(2^n)-1)=k.Fn
on a utilisé x^2-1=(x+1)(x-1)

2)(2^Fn)-2=2((2^(Fn-1))-1)
avec Fn-1=2^(2^n) et la question précédente on a le résultat

[emilie943]

Êtes vous bien sure de votre énoncé ?
Fn n'est pas la mème chose dans l'énoncé initial et la dernière demande ...("+1 " est apparu...)
Je n'ai pas le temps pour le moment ...

erreur de frappe dans l'énoncé, la dernière demande est la bonne

[Rdvn]

C'est ce que j'ai considéré : dans Fn on reconnait un nombre de Fermat
Ma dernière réponse ci dessus est la solution complète du 4

[emilie943]

pourquoi part-on de ?

[Rdvn]

On a idée que la question précédente (3b) va être utile, tout en essayant de se rapprocher de Fn .
Après ça, en math, on cherche, l'idée vient ... ou non...
Fin pour ce soir :
travaillez ma solution étape par étape, pour voir si vous comprenez chaque calcul effectué.
On verra ensuite les questions en reste ...