Arithmetique

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yassinossss
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arithmetique

par yassinossss » 08 Mai 2020, 01:11

résoudre dans IN^3 l'equation

4^x+18^y=2×2^z

je sais que (0,0,0) est une solution de cette equation ,mais j 'suis pas arrivé à montrer que cette est solution est la solution ou bien il existe d'autres

et merci



nodgim
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Re: arithmetique

par nodgim » 09 Mai 2020, 09:17

18^y = 2^(z+1) - 2^(2x)
9^y = 2^(z+1-y) - 2^(2x-y)
====>
z+1-y = 1
2x-y = 0
y = 0

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Ben314
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Re: arithmetique

par Ben314 » 09 Mai 2020, 13:26

Salut,
nodgim a écrit:18^y = 2^(z+1) - 2^(2x)
9^y = 2^(z+1-y) - 2^(2x-y)
====>
z+1-y = 1
2x-y = 0
y = 0
Je comprend franchement pas d'où sort ton implication finale.
L'équation donne donc c'est à dire .
On a donc est un entier naturel impair et là, effectivement, on en déduit que et que mais je ne vois pas quel argument tu utilise pour prouver que la seule solution de cette équation correspond à .
Perso, le seul truc qui me vient à l'esprit, c'est d'utiliser les entiers de Gauss pour écrire l'équation sous la forme

puis d'utiliser le fait que le terme de droite est décomposé en produit d'irréductibles de .
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

nodgim
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Re: arithmetique

par nodgim » 09 Mai 2020, 18:18

9^y = 2^(z+1-y) - 2^(2x-y)

z+1-y = 2x-y ne marche pas ( sinon résultat = 0 )

Il faut donc que z+1-y > 2x-y, ce qui implique une puissance de 2 commune, mais 9^y est impair.

D'où 2x-y = 0 et z+1-y > 0

9 ^ y = 2 ^( z+1-y) - 1

Maintenant 9^y = 1 [4] si y non nul, et une puissance de 2 > 2 à laquelle on ôte l'unité vaut 3 modulo 4.

 

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