Arithmétique

[oumanipapa1964]

Bonjour,
Alors voilà, j'ai bloqué sur cet exercice, notamment sur deux questions :

Soit a un entier naturel non nul tel que pgcd(a;10)=1
1a)Montrer que a est impair et déduire que
1b)Montrer que a n'est pas divisible par 5 et que
1c) Déduire que
2a) Montrer que : et déduire que a^{800.000.001}\equiv a [10^{9}]
2b) En utilisant la question précédante, Démontrer l'existence d'un entier naturel x tel que l'écriture décimale de se termine par le nombre 123456789

Ce sont les questions 2a) (la deuxième partie est facilement déduite de la première) et 2b qui m'ont posé problème. J'ai essayé de faire la 2a avec le théorème de Bezout (pgcd(a,10)=1 donc : )mais je n'arrive finalement pas au résultat.

Merci.

[Mimosa]

Bonjour

Pour 2a) tu peux procéder par récurrence sur .

[oumanipapa1964]

J'y ai pensé oui, mais j'ai essayé et je n'y arrive pas...

[Mimosa]

Pour k=0, tu l'as déjà. Fais à la main pour k=1, tu verras!

[GaBuZoMeu]

Petit coup de pouce :

[oumanipapa1964]

Oui ça je l'ai déjà fait, mais je n'arrive pas à montrer que
Oui merci je vois comment je dois procéder maintenant.
Comme l'a dit Mimosa, l'initialisation je l'ai déjà.
Pour ce qui est de demontrer que en ayant , je vais utiliser le coup de pouce de GaBuZoMeu.
On a
puisque alors est divisible par reste donc à montrer que la somme du deuxième facteur est divisible par 10
on a avec i compris entre 0 et 9
on effectue la somme et on obtient que le facteur est congru à 10 modulo 10 donc il est divisible par 10.
Merci beaucoup pour votre aide, mais toujours est-il que je n'arrive pas à trouver la réponse pour la 2b)

[oumanipapa1964]

il y a quelques petites erreurs dans la rédaction, je viens de m'en rendre compte, mais ça n'affecte pas le sens du raisonnement

[GaBuZoMeu]

As-tu remarqué que est un cube ?

[oumanipapa1964]

Oui j'ai fait cette remarque.

[oumanipapa1964]

Ah mais oui, quel idiot, ça ne m'as pas frappé au premier abord
Si on considère le nombre et qu'on le met au cube, on obtient et ce nombre est congru à 123456789 d'après la question précédente car 123456789 est premier avec 10 (car premier avec 2 et 5) et le résultat en découle.
Merci!!

[GaBuZoMeu]

Avec plaisir.